集合的基本运算

1本节课是集合这一章的核心内容，高考常考考点之一，所以一定要掌握并集，补集，交集的概念。集合的基本运算是在学习集合定义以及集合的性质之后学到的，它对日后学习研究函数的定义域、值域、单调区间等内容起到知识储备作用。课程目标学科素养A.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．B.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．C.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．a数学抽象：数学集合概念的理解、描述法表示集合的方法b逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用c数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算d直观想象：利用数轴表示数集、集合的图形表示e数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类1.教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；2.教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；一、知识梳理1、集合的运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}2、性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆(A∪B)．A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，A∩B⊆A∪B，A∩B⊆A，A∩B⊆B.2A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A二、题型探究类型一并集、交集性质的应用例1已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x－1或x5}，若A∪B＝B，求实数a的取值范围．反思与感悟解此类题，首先要准确翻译，诸如“A∪B＝B”之类的条件．在翻译成子集关系后，不要忘了空集是任何集合的子集．跟踪训练1设集合A＝{x|2x2＋3px＋2＝0}，B＝{x|2x2＋x＋q＝0}，其中p，q为常数，x∈R，当A∩B＝12时，求p，q的值和A∪B.解∵A∩B＝12，∴12∈A，∴2×122＋3p×12＋2＝0，∴p＝－53，∴A＝12，2.又∵A∩B＝12，∴12∈B，∴2×122＋12＋q＝0，∴q＝－1.∴B＝12，－1.∴A∪B＝－1，12，2.3类型二补集性质的应用命题角度1补集性质在集合运算中的应用例2已知A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，∁UB＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.解∵A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．而∁UB＝{－1,0,2}，∴B＝∁U(∁UB)＝{－3,1,3,4,6}．反思与感悟从Venn图的角度讲，A与∁UA就是圈内和圈外的问题，由于(∁UA)∩A＝∅，(∁UA)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推．跟踪训练2如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.考点补集的概念及运算题点无限集合的补集命题角度2补集性质在解题中的应用例3关于x的方程：x2＋ax＋1＝0，①x2＋2x－a＝0，②x2＋2ax＋2＝0，③若三个方程至少有一个有解，求实数a的取值范围．考点交并补集的综合问题题点与交并补集运算有关的参数问题解假设三个方程均无实根，则有Δ1＝a2－40，Δ2＝4＋4a0，Δ3＝4a2－80，即－2a2，a－1，－2a2.4解得－2a－1，∴当a≤－2或a≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，即a的取值范围为{a|a≤－2或a≥－1}．反思与感悟运用补集思想求参数取值范围的步骤(1)把已知的条件否定，考虑反面问题．(2)求解反面问题对应的参数的取值范围．(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集．跟踪训练3若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a的取值范围．考点交并补集的综合问题题点与交并补集运算有关的参数问题类型三集合的综合运算例4(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,3,5}，Q＝{1,2,4}，则(∁UP)∪Q等于()A．{1}B．{3,5}C．{1,2,4,6}D．{1,2,3,4,5}考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案C解析∵∁UP＝{2,4,6}，∴(∁UP)∪Q＝{1,2,4,6}．(2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是________．考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算5答案{a|a≥2}反思与感悟解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分．有限集混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴．跟踪训练4(1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1,3,7}，A∩(∁UB)＝{4,9}，则B等于()A．{1,2,3,6,7}B．{2,5,6,8}C．{2,4,6,9}D．{2,4,5,6,8,9}考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案B解析根据题意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn图(如图所示)，可得B＝{2,5,6,8}，故选B.(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2x3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算解如图所示．∵A＝{x|－2x3}，B＝{x|－3≤x≤2}，∴∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x－3或2x≤4}．A∩B＝{x|－2x≤2}，∴(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2x3}.6三、达标检测1、设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C等于()A．{1,2,3}B．{1,2,4}C．{2,3,4}D．{1,2,3,4}考点并集、交集的综合运算题点并集、交集的综合运算答案D解析A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．2、已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么M∩N为()A．x＝3，y＝－1B．(3，－1)C．{3，－1}D．{(3，－1)}考点交集的概念及运算题点无限集合的交集运算答案D3、已知集合A＝{}1，2，A∪B＝{}1，2，3，4，则满足条件的集合B的个数为()A．1B．2C．3D．4考点集合的交集、并集性质及应用题点利用交集、并集性质求集合的个数答案D解析因为集合A＝{}1，2，A∪B＝{}1，2，3，4，所以B中至少含有3,4两个元素，所以满足条件的集合B为{}3，4，{}3，4，1，{}3，4，2，{}3，4，1，2，共4个．4、已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁RA)∩B等于()A．{－2，－1}B．{－2}C．{－1,0,1}D．{0,1}7考点并交补集的综合问题题点有限集合的并交补运算答案A解析因为集合A＝{x|x＞－1}，所以∁RA＝{x|x≤－1}，则(∁RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．5、已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝______，(∁UA)∩(∁UB)＝________.考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算答案{x|0x1}{x|0x1}6、若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x0或x1}，则图中阴影部分所表示的集合为________．考点Venn图表达的集合关系及运用题点Venn图表达的集合关系答案{x|x≤1或x2}解析如图，设U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|1x≤2}，∴阴影部分为∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x2}．