高中数学导数的应用-ppt.ppt

导数的应用知识与技能:1.利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值；2．利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。过程与方法:1.通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，培养学生的数学思维能力；2.通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。情感态度、价值观：逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯一、知识点1．导数应用的知识网络结构图：重点导析：一、曲线的切线及函数的单调性为减函数。yfx1.设函数在某个区间内可导，若0fx，则在该区间上是增函数；若yfx0fx，则yfx③把函数fx的间断点（即fx的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数fx的定义区间分成若干个小区间；④确定fx在各个小开区间内的符号，根据fx的符号判定函数fx在每个小开区间内的增减性。2.求可导函数单调区间的一般步骤和方法：①确定函数fx的定义域区间；②求fx，令fx＝０，解此方程，求出它在定义域区间内的一切实根；题型一：利用导数求切线斜率、瞬时速度解法提示：在某一点切线的斜率或在某一时刻的瞬时速度就是该点或该时刻对应的导数.例1求垂直于直线2610xy，且与曲线3231yxx相切的直线方程.题型二：求函数的单调区间.分析：确定函数的单调区间,即在其定义域区间内确定其导数为正值与负值的区间.例2试确定函数1ln1yxx的单调区间.二、可导函数的极值1.极值的概念：设函数在点0x附近有定义，且对0x附近的所有的点x都有0fxfx（或0fxfx则称0fx为函数的一个极大（小）值，称0x为极大（小）值点。fx①求导数fx②求方程fx＝０的根；2.求可导函数yfx极值的步骤：yfx③检验fx在方程fx＝０如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数的根的左、右的符号，yfx在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数yfx在这个根处取得极大值.题型三：求函数的极值与最值分析：此题属于逆向思维，但仍可根据求极值的步骤来求.但要注意极值点与导数之间的关系（极值点为0fx的根）.例3设函数32fxaxbxcx在1x或1x处有极值且11f.求,,.abc并求其极值.三、函数的最大值与最小值1.设yfx是定义在区间[a，b]上的函数，yfx在（a，b）内有导数，求函数yfx在[a，b]上的最大值与最小值，可分两步进行：①求在（a，b）内的极值；yfxyfx②将在各极值点的极值与,fafb比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.若函数yfx在[a，b]上单调递增，则fa为函数的的最小值，fb为函数的最大值；若函数yfx在[a，b]上单调递减，则fa为函数的最大值，fb最小值.为函数的例４函数5123223xxxy在[0，3]上的最值.５-155y＋0－Y’3(2,3)2(0,2)0X题型四：利用求导解应用题例5如图,有甲、乙两人，甲位于乙的正东100km处开始骑自行车以每小时20km的速度向正西方向前进，与此同时，乙以每小时10km的速度向正北方向跑步前进，问经过多少时间甲、乙相距最近？BA乙甲如图例2:如图,铁路线上AB段长100km,工厂C到铁路的距离CA=20km.现在要在AB上某一处D,向C修一条公路.已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?BDAC解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.2220x2400x又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为).1000()100(34005352xxtxtBDtCDty令,在的范围内有唯一解x=15.0)34005(2xxty1000x所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离不超过15千米时,所选D点与B点重合.练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h.答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3时,圆柱体的体积最大.2.与数学中其它分支的结合与应用.例3:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2),且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.(1)求a、b的值；(2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值范围.解:(1),23)(2bxaxxf由题意得:.3132323)1(2)1(bababaff(2),解得x0或x-2.0)2(363)(2xxxxxf故f(x)的单调递增为(-∞,-2]和[0,+∞).).,0[]1,[]2,(]1,[mmmm或即m+1≤-2或m≥0,故m≤-3或m≥0.练习1:已知函数f(x)=x3-3ax+b(a0)的极大值为6,极小值为2.(1)试确定常数a、b的值;(2)求函数的单调递增区间.答案:(1)a=1,b=4.(2)单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3与x=1处都取得极值.(1)求a、b的值;(2)若x∈[-1,2]时,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围.答案:(1)a=-1/2,b=-2.(2)利用f(x)maxc2,解得c-1或c2.练习3:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-∞,0]及[2,+∞)上都是增函数,而在(0,2)上是减函数,求此函数在[-1,4]上的值域.答:由已知得可求得c=0,b=-3,从而f(x)=x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数f(x)在[-1,4]上的值域是[-4,16].,0)2()0(ff例4.2001—新课程卷—文史类(21):已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试确定a、b的值,并求出f(x)的单调区间.注:此题为p.252课后强化训练第8题.解:由已知得:.21310263)1(1231)1(babafbaf.123)(,)(223xxxfxxxxf由得;由得1310)(xxxf或.1310)(xxf故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1/3)和(1,+∞),单调递减区间是(-1/3,1).难点突破：1.关于单调性的定义,条件是充分非必要的.若yfx在（a，b）内，0fx（或0fx），（其中有有限个x使0fx），则yfx在（a，b）内仍是增函数（或减函数）。如：3fxx，有230fxx（其中00f），但yfx在（-∞,+∞）内递增；2.注意严格区分极值和最值的概念.极值是仅对某一点的附近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题。