博弈论第7讲

上次内容回顾动态博弈的概念完美信息和完全信息（信息集）扩展式表示（博弈树）动态博弈的策略式表示逆向归纳法（BackInduction）承诺的置信（反国家分裂法）子博弈完美均衡斯塔克博格(Stackelberg)模型1子博弈完美均衡与BI2先动优势？后动优势NIMSteporthrow34讨价还价实例假设两人就冰激凌的分配讨价还价。冰激凌会随时间而融化。假设冰激凌重量为100克，每一回合融化10克（即10个回合全部融化）。假设甲先提议，然后是乙。5讨价还价实例两回合谈判的均衡结果推导过程：第二回合乙提议之后博弈结束，因此相当于他面临独裁博弈。此时，他会将全部冰激凌分给自己（比例为1）。由于已经化掉1/10，因此，尽管乙得到了全部，但实际上是90克；甲什么也没得到。再回溯到第一回合，为了不使乙反对，甲必须使得乙所获得的冰激凌实际额不低于其第二回合的数量。因此，均衡结果是甲10克，乙90克6讨价还价实例三回合谈判的均衡结果推导过程：第三回合甲提议之后博弈结束，因此相当于他面临独裁博弈。此时，他会将全部冰激凌分给自己（比例为1）。由于已经化掉2/10，因此，尽管甲得到了全部，但实际上是80克；第二回合中，为了不使甲反对，乙必须使得甲所获得的冰激凌实际额不低于其第三回合的数量，即甲80克，乙10克；再回溯到第一回合，为了不使乙反对，甲必须使得乙所获得的冰激凌实际额不低于其第二回合的数量，即乙10克，甲90克。因此，均衡结果是甲90克，乙10克7讨价还价实例同学们可以自己推导一下，第9回合和第十回合的均衡结果是多少？8讨价还价实例第9回合，甲60克，乙40克；第10回合，甲乙各50克。推导过程9和10回合.doc9讨价还价实例结论：1，低于10回合外，谁最后提议，谁有优势。2，谈判的回合越多，两人的利益分享额越接近平均分配。3，回合足够多得话，平均分配合作利益。10经典案例(2):讨价还价博弈讨价还价(bargaining)是市场中最常见、普通的事情。也是博弈论中典型的动态博弈问题。讨价还价模型还可以推广到谈判问题。这里介绍的是讨价还价最为经典的模型。11经典案例(2):讨价还价博弈假设有两个人分割一块蛋糕，参与人1先出价(offer)，参与人2可以选择接受(accept)或拒绝(reject)；如果参与人2接受，博弈结束，蛋糕按参与人1的方案分配。如果参与人2拒绝，参与人2出价，参与人1决定接受或拒绝；如果参与人1接受，博弈结束，蛋糕按参与人2的方案分配。如果参与人1拒绝，参与人1再出价…12经典案例(2):讨价还价博弈上述过程反复进行，直到一个参与人的出价被另一个参与人接受为止。这是一个无限期完美信息博弈，参与人1在1,3,5,…出价，参与人2在时期2,4,6,…出价。13经典案例(2):讨价还价博弈若用x表示参与人1的份额，(1-x)表示参与人2的份额，x1和(1-x1)分别是参与人1出价时参与人1和参与人2的份额，x2和1-x2分别是参与人2出价时参与人1和参与人2的份额。假定参与人1和参与人2的贴现因子分别为δ1和δ2，如果博弈在时期t结束，t是参与人i的出价阶段，则参与人1支付的贴现值是π1=δ1t-1xi,参与人2支付的贴现值是π2=δ2t-1(1-xi)14经典案例(2):讨价还价博弈结合切蛋糕问题，贴现值既可以理解为资金的时间价值由于蛋糕由于未被分割出去所造成的自然缩减。双方的耐心程度。15经典案例(2):讨价还价博弈问题分析由于该博弈是无限期博弈，因此，不能直接采用逆推归纳法。为分析上述问题，先考虑阶段数有限的情形。16经典案例(2):讨价还价博弈有限阶段讨价还价问题假定博弈只进行两个时期，在T=2，参与人2出价，如果他提出x2=0,参与人1会接受(假定参与人在接受和拒绝之间无差异时，我们假定他选择接受)。因为博弈在T=2时，参与人1再没有讨价还价的机会。17经典案例(2):讨价还价博弈参与人2在T=2时得到的1单位等价于在t=1时的δ2单位，因此，如果参与人1在t=1时出价1-x1≥δ2,参与人2会接受；因为参与人1没有必要给参与人2多于他会接受的最低份额，博弈均衡结果是参与人1得到x=x1=1-δ2,参与人2得到1-x=δ21812(a)T=1时参与人1出价情况(b)T=2时参与人2出价情况图2-18两阶段讨价还价示意12δ21-δ2经典案例(2):讨价还价博弈19经典案例(2):讨价还价博弈再假定T=3在最后阶段，参与人1出价，他可以得到的最大份额是x1=1；因为参与人1在T=3时1单位等价于T=2时的δ1单位，因此，如果参与人2在T=2时出价x2=δ1,参与人1将会接受；因为参与人2在T=2的（1-δ1）单位等价于T=1时的δ2（1-δ1）,因此，如果参与人1在T=1时出价1-x1=δ2（1-δ1），参与人2将会接受。因此，子博弈精炼均衡结果是x=1-δ2（1-δ1）20当T=4,5,…等有限整数值时，仿照前述方法，可以推导出任何给定的T的子博弈精炼纳什均衡。如果δ1=δ2=0，不论T为多少，子博弈精炼均衡的结果是x=1；就是说，如果两个参与人都是绝对无耐心的，第一个出价的人得到整个蛋糕；如果δ2=0，不论δ1为多少，子博弈精炼均衡结果仍然是x=1;如果δ1=0,δ20,子博弈精炼均衡结果是x=1-δ2经典案例(2):讨价还价博弈21经典案例(2):讨价还价博弈如果δ1=δ2=1,即双方都有无限耐心，那么，如果T=1,3,5,…,均衡结果是x=1；如果T=2,4,6,…，均衡结果是x=0。这里的结果可以称之为“后动优势”（last-moveradvantage）22经典案例(2):讨价还价博弈一般说来，如果0δi1,i=1,2，均衡结果不仅依赖于贴现因子的相对比率，而且还依赖于博弈时期T和谁在最后阶段出价。然而，这种依存关系随着T的变大而变小当T趋于无穷时，我们得到“先动优势”：如果δ1=δ2=δ，唯一的纳什均衡结果为x=1/(1+δ)23无限阶段讨价还价问题罗宾斯坦恩(Rubinstein,1982):在无限期轮流出价博弈中，唯一的子博弈精炼纳什均衡结果是212*11x经典案例(2):讨价还价博弈24无限阶段讨价还价问题罗宾斯坦恩(Rubinstein,1982):在无限期轮流出价博弈中，唯一的子博弈精炼纳什均衡结果是如果δ1=δ2=δ，则212*11x11*x经典案例(2):讨价还价博弈25经典案例(2):讨价还价博弈上述定理的证明由于T=∞,博弈没有最后阶段，不可能使用逆推归纳法。但根据Shaked,Sutton(1984)，因为从参与人1出价的任何一个阶段开始的子博弈等价于从T=1开始的整个博弈，因此可转换为有限阶段讨价还价问题。见图2-19。26从任一阶段开始的子博弈（t为奇数）…图2-19无限阶段讨价还价问题t=1t=2t=k…t=3从t=1阶段开始的整个博弈经典案例(2):讨价还价博弈27假定在时期t≥3时参与人1出价，参与人1能得到的最大份额是M;对参与人1而言，t期的M等价于t-1期的δ1M，参与人2知道在t-1时期的任何x2≥δ1M的出价将被参与人1接受，因此参与人出价x2=δ1M,自己获得1-δ1M;对于参与人2而言，t-1期的1-δ1M等价于t-2期的δ2(1-δ1M)，参与人知道在t-2期的任何x1=1-δ2(1-δ1M)出价将被参与人2接受，因此参与人1出价x1=1-δ2(1-δ1M)t=1t=2t=k…t=3x=Mx=δ1Mx=1-δ2(1-δ1M)经典案例(2):讨价还价博弈28因此有x=1-δ2(1-δ1M)=M进而求得t=1t=2t=k…t=3x=Mx=δ1Mx=1-δ2(1-δ1M)经典案例(2):讨价还价博弈21211M29与此类似，可求出参与人1能够获得的最小份额m,为21211M21211m21211x经典案例(2):讨价还价博弈由于参与人1能得到的最大份额和最小份额相同，均衡结果是唯一的，为30多阶段静态博弈该类模型中至少在某个阶段参与人同时选择其决策。31多阶段静态博弈模型一例博弈中有四个参与人，分别用参与人1~4表示。第一阶段是参与人1与2的决策选择阶段，他们同时在各自的策略集A1和A2中分别选择a1和a2。第二阶段是参与人3与4决策选择阶段，他们看到参与人1和2的决策a1和a2后，同时在各自的策略集A3,A4中分别选择a3和a4。各参与人的支付函数是参与人的策略a1,a2,a3,a4的函数，记为ui=ui(a1,a2,a3,a4)32多阶段静态博弈有同时选择的动态博弈问题如国际竞争中最优关税博弈问题，两个制定关税的国家可看成标准模型中的参与人1与2；两国各自的一个相互进行产量竞争的企业就是模型中的参与人3于4。上述标准模型的变形，如某个阶段只有一个参与人；第二阶段的参与人3于4与第一阶段的参与人1与2相同等，也属于同时选择的动态博弈问题。33多阶段静态博弈这类模型实质上就是完美信息动态博弈，因此仍然可以采用逆推归纳法进行分析。因为存在同时选择，因此每个阶段不再是单人优化问题，而是一个静态博弈。34多阶段静态博弈简例：挤兑博弈问题描述：银行信贷对社会经济发展的作用无可估量，但它在带来巨大利益的同时也蕴含着一定的风险。设一家银行为了给一个企业贷放一笔20000元的贷款，以20%的年利率吸引客户存款。若两个客户各有10000元资金，如果他们把资金作为1年期定期存款存入该银行，那么银行就可以向企业贷款。如果两客户都不愿存款或只有一个客户存款，那么银行就无法给上述企业贷款，这时候客户的本金可以保全。35多阶段静态博弈简例：挤兑博弈在两个客户都存款，从而银行给上述企业提供贷款的情况下，如果银行满1年收回贷款，企业就能完成一笔生意，银行可收回贷款本息，并可支付存款客户的存款本息。如果在不到1年的时候，其中任何一个客户单独或同时要求提前取出存款，银行就不得不提前收回贷款。假设银行只能收回80%的本钱。若只有一个客户要求提前取款，则银行会偿还其全部本金，余款则属于另一客户；若两客户同时要求提前取款，则平分回收的资金。36多阶段静态博弈简例：挤兑博弈根据上述假设，可以用图2-20的两个矩阵表示该问题。不存存款不存1，11，1存款1，1下一阶段提前到期提前0.8,0.81,0.6到期0.6,11.2,1.2客户2客户1图2-20银行挤兑风险客户2客户1第一阶段第二阶段37多阶段静态博弈简例：挤兑博弈用逆推归纳法来分析该博弈。在第二个阶段的博弈。这是一个二人完全信息静态博弈，可以得出该博弈有两个纯策略纳什均衡（提前，提前）和（到期，到期）。对应的支付情况分别为(0.8,0.8)和(1.2,1.2)。分别为风险占优均衡和帕雷托占优均衡。提前到期提前0.8,0.81,0.6到期0.6,11.2,1.2客户2客户1第二阶段38多阶段静态博弈简例：挤兑博弈其中，风险占优均衡就是“挤兑”现象，而帕雷托占优则是金融健康的经济现象。若采用风险占优策略的客户比例较大，超出了银行承受能力，就可能会造成金融危机。提前到期提前0.8,0.81,0.6到期0.6,11.2,1.2客户2客户1第二阶段39如果第二个阶段博弈结果是比较理想的（到期，到期）纳什均衡，那么这时候第一阶段的博弈相当于图2-21的支付矩阵（完全信息静态博弈）。不存存款不存1，11，1存款1，1下一阶段提前到期提前0.8,0.81,0.6到期0.6,11.2,1.2第一阶段40如果第二个阶段博弈结果是比较理想的（到期，到期）纳什均衡，那么这时候第一阶段的博弈相当于图2-21的支付矩阵（完全信息静态博弈）。不存存款不存1，11，1存款1，11.2,1.2多阶段静态博弈简例：挤兑博弈图2-21第一阶段等价博弈(1)41此时也有两个纯战略纳什均衡，为（不存，不存），（存款，存款），且