对数函数的单调性、奇偶性的运用

1对数函数的单调性、奇偶性的运用张军丽一、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.1.比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)loga5.1，loga5.9(a0且a≠1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4log28.5；解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.48.5，所以log23.4log28.5；解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.82.7，所以log0.31.8log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.2解法1：当a1时，y=logax在(0，+∞)上是增函数，且5.15.9，所以，loga5.1loga5.9当0a1时，y=logax在(0，+∞)上是减函数，且5.15.9，所以，loga5.1loga5.9解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=loga5.1，则，令b2=loga5.9，则当a1时，y=ax在R上是增函数，且5.15.9所以，b1b2，即当0a1时，y=ax在R上是减函数，且5.15.9所以，b1b2，即.举一反三：【变式1】（2011天津理7）已知则（）A．B．C．D．解析：另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得又∵为单调递增函数，∴故选C.2.证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同3时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1x2则又∵y=log2x在上是增函数即f(x1)f(x2)∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(logax)=(a0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=logax(x∈R+，t∈R).当a1时，t=logax为增函数，若t1t2，则0x1x2，∴f(t1)-f(t2)=，∵0x1x2，a1，∴f(t1)f(t2)，∴f(t)在R上为增函数，当0a1时，同理可得f(t)在R上为增函数.∴不论a1或0a1，f(x)在R上总是增函数.3．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵y=t为减函数，且0t≤4，∴y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+30，即-1x3.4∴t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.二、函数的奇偶性4.判断下列函数的奇偶性.(1)(2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称又所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.5总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.三、对数函数性质的综合应用5．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+10的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现：使u能取遍一切正数的条件是.解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+10的解集为R，当a=0时，此不等式变为2x+10，其解集不是R；当a≠0时，有a1.∴a的取值范围为a1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数6a=0或0≤a≤1，∴a的取值范围为0≤a≤1.6．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a1)，记ΔABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；(3)判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x0).并且A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8))(a1)，∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕∴S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).由于a1时，a2+8a9，∴11+，又函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，∴02log2(1+)2log2，即0S2log2.(3)S=f(a)在定义域(1，+∞)上是减函数，证明如下：任取a1，a2，使1a1a2+∞，则：7(1+)-(1+)=16()=16·，由a11，a21，且a2a1，∴a1+a2+80，+8a20，+8a10，a1-a20，∴11+1+，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a1)f(a2)∴S=f(a)在(1，+∞)上是减函数.(4)由S2，即得，解之可得：1a4-4.