图像的恢复与重构

第五章图像的恢复与重构什么是图像退化：图像的质量变坏叫做退化。退化的形式有图像模糊、图像有干扰等。图像退化的处理方法：无论是由光学、光电或电子方法获得的图像都会有不同程度的退化；退化的形式多种多样。如传感器噪声、摄像机未聚焦、物体与摄像设备之间的相对移动、随机大气湍流、光学系统的相差、成像光源或射线的散射等；如果我们对退化的类型、机制和过程都十分清楚，那么就可以利用其反过程来复原图像。典型的图像复原方法是根据图像退化的先验知识建立一个退化模型，以此模型为基础，采用滤波等手段进行处理，使得复原后的图像符合一定的准则，达到改善图像质量的目的。一、图像退化模型f(i,j)：原始图像g(i,j)：降质图像T(·)：成像系统的作用，则：g(x,y)=T[f(x,y)]设T是线性移不变的。一幅连续的图像f(x,y)可以用抽样函数的二维卷积表示：ddyxfyxf),(),(),(因此，令h(x,α;y,β)=T[δ(x-α,y-β)]，则有：ddyxTfyxg),(),(),(ddyxhfyxg),;,(),(),(定义于不在原点的二维δ函数由于f(α,β)与x，y没有关系称h(x,α;y,β)为点扩散函数(PSF)或系统冲击响应。多数情况下它表现为时不变的，反映在图像中为位移不变的，则h(x,α;y,β)可以表示为h(x-α,y-β)),(),(),(),(),(yxhyxfddyxhfyxg其中*表示卷积运算。如果T(·)是一个h可分离系统，即：h(x,α;y,β)=h1(x,α)h2(y,β)则二维运算可以分解为列和行两次一维运算来代替。在加性噪声情况下，图像退化模型可以表示为：g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(n,y)其中n(x,y)为噪声图像。二、离散图像退化模型对于图像降质过程进行数学建模，设：f(i,j)为原始图像；y(i,j)为降质图像；h(i,j;k,l)为点扩散函数；图像为M×N维。有MkNljinlkflkjihjiy11),(),(),;,(),(假设为空间不移变h(i,j;k,l)，则：),(),(),(),(),(),(),(11jinjifjihjinlkfljkihjiyMkNl线性位移不变的图像退化模型则表示为：g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y)结论：如果已知g(x,y)、n(x,y)、h(x,y)，则f(x,y)可以计算出来。对等式两端取傅立叶变换有：G(u,v)=F(u,v)H(u,v)+N(u,v)F(u,v)=(G(u,v)-N(u,v))/H(u,v)f(x,y)=F-1[F(u,v)]g(x,y)f(x,y)n(x,y)h(x,y)+三、循环矩阵及傅立叶化一个一维离散序列通过一个系统发生失真的过程可用下图表示1210)()()(10,...,M-,,xn(x)mxhmfxgMmeee)1()1()0()1()1()0()0()2()1()2()0()1()1()1()0()1()1()0(MnnnMfffhMhMhMhhhMhhhMgggeeeeeeeeeeeeeeeeeenHfgf=H-1[g-n]用矩阵表示，可以写成g(x)f(x)n(x)h(x)+如果考虑加性噪声，根据离散序列的卷积定理，有扩展为周期为M的序列由于离散卷积的周期性，有he(x)=he(x+M)，H可以写成)0()2()1()2()0()1()1()1()0(eeeeeeeeehMhMhhhhhMhhH10101-N0,1,2,...,y1-M0,1,2,...,x),(),(),(),(MmNneeeeyxnnymxhnmfyxgH是一个循环阵。结论：离散卷积都可以写成：输入矩阵×循环矩阵！对数字图象的二维离散函数也是如此。对图像退化模型而言，有A=5B=5M=9M=9用矩阵形式表示上式：g=Hf+ng、f和n分别表示M×N的函数矩阵ge(i,j)、fe(i,j)和ne(i,j)的各行前后相连而成的列矢量(堆叠矢量)。如果假设原始图像是M×N维矩阵，则H是MN×MN循环矩阵，且H是一个分块(M×M个)循环矩阵：)1()1()0()1()1()0(021201110MNnnnMNfffeeeeeeMMMHHHHHHHHHnHfg每一个子矩阵Hi自身也是循环矩阵N×N：)0,()2,()1,()2,()0,()1,()1,()1,()0,(ihNihNihihihihihNihiheeeeeeeeeiH=+MN×1MN×MNMN×1MN×11、一维信号序列循环矩阵的对角化和傅立叶化解矩阵方程：f=H-1[g-n]最简单的计算方法就是对角化，H→H-1也是对角阵。对角化H的方法——求取其特征值和特征矢量。对循环矩阵而言，设：其有M个特征值和特征矢量。110)1(2exp2exp1)(M-,,kkMMjkMjkTwkMMjhkMjMhhkeee)1(2exp)1(2exp)1()0()(由于w(k)是由傅立叶系数构成的，因此w(k)彼此是正交的。所以，由w(k)构成的变换矩阵是可逆的。102)()(NuuxNjeuFxf用特征矢量组成的矩阵：W=[w(0),w(1)…w(M-1)]生成对角矩阵D：D=W-1HW；且D(k,k)=λ(k)。而kiMπjM(k,i)wkiMπjw(k,i)kMMjkMjkMHHHMMhhhMMH(k)ikMjihMMkiMMjihMMkMMjhkMjMhhkeeeMieMieeee2exp12exp)1(2exp2exp1)()1(000)1(000)0()]1()1(),0([2exp)(1)(2exp)(1)1(2exp)1(2exp)1()0()(11010为正交阵序列的傅立叶变换乘WwHWWDT1根据周期性，M–i=-i凑一个常数所以H=WDW-1对g=Hf+n而言，可以写成g=WDW-1f+n，有W－1g=DW-1f+W－1n；其中对W-1g列矢量的每一行G(k)而言，有序列的傅立叶变换)]1()1(),0([2exp)(12exp1)1(2exp1)1(1)0()(10MgggkiMjigMkiMjMMgkMjMgMgkGeeeMieeee序列的傅立叶变换)]1()1(),0([2exp)(12exp1)1(2exp1)1(1)0()(10MfffkiMjifMkiMjMMfkMjMfMfkFeeeMieeee对W-1f列矢量的每一行F(k)而言对W-1n而言有同样的结果。所以对W－1g=DW-1f+W－1n而言，G(u)=MH(u)F(u)+N(u)。上面的过程称之为循环矩阵的傅立叶化。如果图像的g、f、n采用堆叠矢量的方法构成，g=Hf+n。同一维的情况类似，不同的地方是H为块循环矩阵，以及其中的傅立叶变换是二维的，但最后结论是一样的。G(u)=MH(u)F(u)+N(u)——一维情况下的结论G(u,v)=MNH(u,v)F(u,v)+N(u,v)——二维情况下的结论在实际应用中，认为f(x,y)、h(x,y)、g(x,y)、n(x,y)的维数是相等的。F(u,v)=[G(u,v)-N(u,v)]/MNH(u,v)f(x,y)=F-1[F(u,v)]2、二维信号序列块循环矩阵的对角化和傅立叶化=+3、H(u,v)的获取要知道一个图象降质系统的H(u,v)是一件非常困难的事情。但因为f(x,y)*h(x,y)=g(x,y)，有F(u,v)H(u,v)=G(u,v)如果f(x,y)=δ(x,y)，F[δ(x,y)]=1则H(u,v)=G(u,v)所以，可以用实验的方法得到h(x,y)和H(u,v)；H(u,v)可用点源的输出图像的傅立叶变换来近似。另外，有一些图象降质系统的H(u,v)有固定的或近似的数学模型。四、常见的线性移不变降质算子运动模糊：通常在拍摄过程中，相机或物体移动造成的运动模糊可以用一维均匀邻域像素灰度的平均值来表示：大气扰动模糊：这种模糊经常出现在遥感和航空摄影中，由于曝光时间过长引起的模糊可用高斯点扩散函数来表示：式中K是一个归一化常数，保证模糊的大小为单位值，σ2可以决定模糊的程度。其他0221)(LxLLxh)2exp(),(222yxKyxh均匀不聚焦模糊这是由于相机聚焦不准确引起的，虽然不聚焦由许多参数决定，如相机的焦距、相机光圈的大小、形状、物体和相机之间的距离等，但在研究中为了简单起见，我们用下列函数表示聚焦不准引起的模糊：均匀二维模糊这是最常见的一种模糊，可以用来近似聚焦不准引起的模糊：其中L是奇数。其他01),(222RyxRyxh其他02,21),(2LyxLLyxh五、无约束恢复逆滤波对于图像退化模型：g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y)两边取傅立叶变换：G(u,v)=F(u,v)H(u,v)+N(u,v)H(u,v)又称为系统的转移函数(或滤波函数)，它使图像退化。在无噪声的情况下，上式可以简化为：G(u,v)=F(u,v)H(u,v)F(u,v)=G(u,v)/H(u,v)这种1/H(u,v)的形式称为逆滤波。再进行傅立叶逆变换就可以得到f(x,y)。什么是无约束恢复当对噪声一无所知时，使n无约束的小。由于g=Hf+n，假设通过恢复可以得到一个不错的f的估计f’。显然，f’应满足关系g－Hf’＝n，我们希望n尽可能的小。于是问题转化为f’在什么情况下n最小——对矩阵而言就是它的迹(对角线之和)的平方最小。gHffHgHff])fH)(gfHtr[(gfHgfTT12ˆ0)ˆ(2ˆ)ˆ(ˆˆˆ)ˆ(minJJ),(),(),(ˆ),(),(),(ˆˆˆ11vuHvuGvuFvuMNHvuGvuFgWDfWgWWDg)(WDWgHf-1-1-1111实际情况中，噪声是不可避免的，因而只能求F(u,v)的估计值：如果H(u,v)有许多零点，必然使得复原的结果受到极大影响。或者如果H(u,v)不为零但是有非常小的值，也即病态条件，也会使复原效果受到影响。解决这个问题的方法是避开H(u,v)的零点。幸好一般的H(u,v)在低频附近的有限区域内不为零。因此逆滤波可以在原点附近进行，相当于在频域乘上一低通窗口函数W(u,v)。),(),(),(),(),(),(),(),(),(ˆvuHvuNvuFvuHvuNvuHvuFvuHvuF),(),(),(ˆ),(),(),(),(vuHvuGvuFvuNvuFvuHvuG代入＝将为了防止随着u、v的增大H(u,v)的迅速减小而增设一些条件由于截断地原因，被恢复的图象振铃较大。一种改进的方法是取(?)202220221)(1wvuwvuu,v/HM(u,v)其它