福建省2018届高三数学4月质检试卷理科有答案

福建省2018届高三数学4月质检试卷（理科有答案）2018年福建省高三毕业班质量检查测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A．B．C．D．2.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）A．的图象关于直线对称B．的最小正周期为C．的图象关于点对称D．在单调递增3.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以，，，，为顶点的多边形为正五边形，且.下列关系中正确的是（）A．B．C．D．4.已知，则（）A．123B．91C．-120D．-1525.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数为（）A．120B．84C．56D．286.已知函数.命题：的图象关于点对称；命题：若，则.则在命题：，：，：和：中，真命题是（）A．，B．，C．，D．，7.如图，在平面直角坐标系中，质点，间隔3分钟先后从点出发，绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，则与的纵坐标之差第4次达到最大值时，运动的时间为（）A．37.5分钟B．40.5分钟C．49.5分钟D．52.5分钟8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9.已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为（）A．3200元B．3400元C．3500元D．3600元10.已知抛物线：的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点，轴于点.若四边形的面积等于7，则的方程为（）A．B．C．D．11.已知，，，四点均在以点为球心的球面上，且，，.若球在球内且与平面相切，则球直径的最大值为（）A．1B．2C．4D．812.已知函数在上的值域为，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数满足，则．14.若，满足约束条件，则的最小值为．15.已知双曲线：的右焦点为，左顶点为.以为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，的一个内角为，则的离心率为．16.在平面四边形中，，，，，则的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.各项均为正数的数列的首项，前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.18.如图1，在矩形中，，，点在线段上，且，现将沿折到的位置，连结，，如图2.（1）若点在线段上，且，证明：；（2）记平面与平面的交线为.若二面角为，求与平面所成角的正弦值.19.如图是某小区2017年1月至2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1—13分别对应2017年1月—2018年1月）根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：残差平方和0.0005910.000164总偏差平方和0.006050（1）请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好；（2）某位购房者拟于2018年6月份购买这个小区平方米的二手房（欲购房为其家庭首套房）.若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：（i）估算该购房者应支付的购房金额.（购房金额=房款+税费；房屋均价精确到0.001万元/平方米）（ii）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积.（精确到1平方米）附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格进行征收.（计税价格=房款）征收方式见下表：契税（买方缴纳）首套面积90平方米以内（含90平方米）为1%；首套面积90平方米以上且144平方米以内（含144平方米）为1.5%；面积144平方米以上或非首套为3%增值税（卖方缴纳）房产证未满2年或满2年且面积在144平方米以上（不含144平方米）为5.6%；其他情况免征个人所得税（卖方缴纳）首套面积144平方米以内（含144平方米）为1%；面积144平方米以上或非首套均为1.5%；房产证满5年且是家庭唯一住房的免征参考数据：，，，，，，，.参考公式：相关指数.20.椭圆：的右顶点为，右焦点为，上、下顶点分别是，，，直线交线段于点，且.（1）求的标准方程；（2）是否存在直线，使得交于，两点，且恰是的垂心？若存在，求的方程；若不存在，说明理由.21.已知函数.（1）讨论的单调区间；（2）若，求证：当时，.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为（为参数），，为过点的两条直线，交于，两点，交于，两点，且的倾斜角为，.（1）求和的极坐标方程；（2）当时，求点到，，，四点的距离之和的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数，.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若当时，，求的取值范围.2018年福建省高三毕业班质量检查测试理科数学答题分析一、选择题1-5:BDADB6-10:BACCC11、12：DA二、填空题13.-414.615.16.三、解答题17.（1）【考查意图】本小题以与的关系为载体，考查递推数列、等差数列的定义及通项公式及等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想等.【解法综述】只要掌握与的关系、等差数列的定义及通项公式即可顺利求解.思路：由通过赋值得到：当时，.从而当时，，并注意到，所以是首项为，公差为的等差数列，进而求得.【错因分析】考生可能存在的错误有：不会通过赋值由得到，从而无从求解；或没有注意到，思维不严密导致解题不完整.【难度属性】易.（2）【考查意图】本小题以数列求和为载体，考查错位相减法、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想等.【解法综述】只要掌握错位相减法、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式便可顺利求解.思路：因为是由等差数列与等比数列的对应项的积组成的数列，所以可用错位相减法求和，在解题过程中要注意对的取值进行分类讨论.【错因分析】考生可能存在的错误有：不懂得根据数列通项的特征选择错位相减法求和，从而无从下手；用错位相减法求和时计算出错；没有对的取值进行分类讨论导致解题不完整等.【难度属性】中.18.（1）【考查意图】本小题以平面图形的翻折问题为载体，考查直线与平面垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，考查化归与转化思想.【解法综述】只要理清图形翻折前后相关要素的关系，掌握直线与平面垂直的判定定理及直线与平面垂直的性质，便可解决问题.思路：先在图1中连结，根据得到，从而有，，即在图2中有，，所以得到平面，进而得到.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能理清图形翻折前后相关要素的关系，未能在图1中作出线段，从而无从下手；由于对直线与平面垂直的判定及性质理解不清导致逻辑混乱.【难度属性】中.（2）【考查意图】本小题以多面体为载体，考查二面角、直线与平面所成角、公理3、直线与平面平行的判定定理与性质定理、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.【解法综述】只要掌握二面角的定义，会正确作出平面与平面的交线，或能利用直线与平面平行的判定定理与性质定理将直线与平面所成角转化为平行于的直线与平面所成角，并通过建立适当的空间直角坐标系利用向量方法解决直线与平面所成角的计算问题，便可顺利求解.思路一：延长，交于点，连接，根据公理3得到直线即为，再根据二面角定义得到.然后在平面内过点作交于点，并以为原点，分别为，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，结合直线与平面所成角的计算公式，便可求得与平面所成角的正弦值.思路二：分别在，上取点，，根据线段的长度及位置关系得到，且，从而得到四边形为平行四边形，进而证得，将直线与平面所成角转化为直线与平面所成角.根据二面角定义得到.然后在平面内过点作交于点，并以为原点，分别为，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，结合直线与平面所成角的计算公式，便可求得与平面所成角的正弦值.【错因分析】考生可能存在的错误有：无法利用公理3确定直线的位置，或不能利用直线与平面平行的判定定理与性质定理将所求角转化为平行于的直线与平面所成角，导致无从下手；不能根据二面角的定义求得；不能根据题意建立适当的空间直角坐标系；在求解过程中点的坐标或法向量等计算错误.【难度属性】中.19.（1）【考查意图】本小题以购房问题为背景，以散点图、相关指数为载体，考查回归分析等基础知识，考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识，考查统计与概率思想等.【解法综述】只要理解相关指数的意义便可通过简单估算解决问题.【错因分析】考生可能存在的错误有：不懂相关指数的意义导致判断错误.【难度属性】易.（2）（i）【考查意图】本小题以估算购房金额为载体，考查回归分析、函数等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想、函数与方程思想等.考查学生在复杂的问题情境中获取有用信息分析问题和解决问题的能力.【解法综述】通过散点图确定2018年6月对应的的取值，代入（1）中拟合效果更好的模型，并利用参考数据即可求出二手房均价的预测值，通过阅读税收征收方式对应的图表信息，选择有用的信息，进行合理分类建立正确的函数模型，便能顺利求解.思路：由（1）的结论知，模型的拟合效果更好，通过散点图确定2018年6月对应的的取值为18，代入并利用参考数据即可求出二手房均价的预测值，通过阅读税收征收方式对应的图表信息，选择有用的信息，进行合理分类建立正确的函数模型，便能顺利求解.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能根据散点图得到2018年6月对应的的取值为18，导致2018年6月当月在售二手房均价预测错误；不能从大量复杂的文字和图表中获取有用信息，混淆买方缴纳契税与卖方缴纳的相关税费；不能合理分类导致错误.【难度属性】中.（2）（ii）【考查意图】本小题以估算可购房屋最大面积问题为载体，考查函数与不等式等基础知识，考查运算求解能力及应用意识，考查函数与方程思想等.【解法综述】首先直观估算100万可购买的最大面积的大致范围，再利用（2）（i）中相应的结论求解.思路：首先通过估算得到，90平方米的购房金额小于100万而100平方米的房款大于100万，从而判断100万可购买的面积在90至100平方米之间，便可利用（2）（i）中相应的结论求解.【错因分析】考生可能存在的错误有：不会估算出100万可购买房屋的最大面积在90至100平方米之间，导致无从下手；未先估算100万可购买房屋的最大面积所在的范围，根据（2）（i）中的函数解析式逐一计算，使得解题过程繁杂导致计算出错.【难度属性】中.20.（1）【考查意图】本小题以椭圆为载体，考查直线的方程、椭圆的标准方程及其简单几何性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想等.【解法综述】只要掌握直线的方程、椭圆的标准方程及其简单几何性质，能将线段的长度关系转化为向量