闭区间上连续数的性质(详细版)

高等数学●戴本忠1第十节一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理*三、一致连续性闭区间上连续函数的性质第一章高等数学●戴本忠2学习指导１．教学目的：了解闭区间上连续函数的性质。２．基本练习：了解并通过一定的练习学习最大最小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理在函数值的估计和根的估计上的应用。3．注意事项：闭区间上连续的函数有许多好的性质。应了解在闭区间上连续函数的最大最小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理。了解定理的条件和结论，并通过一定的练习学会运用它们．高等数学●戴本忠3如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,在右端点b左连续,在左端点a右连续,那么函数f(x)就是在闭区间[a,b]上连续的。高等数学●戴本忠4并非任何函数都有最大值和最小值例如，函数f(x)=x在开区间(ab)内既无最大值又无最小值应注意的问题:一、有界性与最大值最小值定理最大值与最小值对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有x0I使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)高等数学●戴本忠5例如,sgn,yx=(,),在上max2,y=min1;y=(0,),在上maxmin1.yy==1sin,yx=[0,2],在上min0;y=max1,y=高等数学●戴本忠6说明:定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值又至少有一点x2[ab]使f(x2)是f(x)在[ab]上的最小值至少有一点x1[ab]使f(x1)是f(x)在[ab]上的最大值定理说明如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续那么高等数学●戴本忠7应注意的问题:如果函数仅在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值例如函数f(x)=x在开区间(ab)内既无最大值又无最小值定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值高等数学●戴本忠8又如如下函数在闭区间[02]内既无最大值又无最小值===21311101)(xxxxxxfy应注意的问题:如果函数仅在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值高等数学●戴本忠9定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界证明设函数f(x)在闭区间[ab]上连续根据定理1存在f(x)在区间[ab]上的最大值M和最小值m使任一x[ab]满足mf(x)M上式表明f(x)在[ab]上有上界M和下界m因此函数f(x)在[ab]上有界定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值高等数学●戴本忠10有界性与最大值最小值定理:在闭区间上连续的函数有界且一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.高等数学●戴本忠11二、零点定理与介值定理注:如果x0使f(x0)=0则x0称为函数f(x)的零点定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号即f(a).f(b)0，那么在开区间(ab)内至少存在一点x使f(x)=0.,)(轴至少有一个交点线弧与则曲轴的不同侧个端点位于的两几何解释：线弧xxxfy=高等数学●戴本忠12例1证明方程x34x21=0在区间(01)内至少有一个根证明设f(x)=x34x21则f(x)在闭区间[01]上连续并且f(0)=10f(1)=20根据零点定理在(01)内至少有一点x使得f(x)=0即x34x21=0这说明方程x34x21=0在区间(01)内至少有一个根是x二、零点定理与介值定理定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号即f(a).f(b)0,那么在开区间(ab)内至少存在一点x使f(x)=0高等数学●戴本忠13定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)f(b)那么对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C在开区间(ab)内至少有一点x使得f(x)=C二、零点定理与介值定理定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号即f(a).f(b)0,那么在开区间(ab)内至少存在一点x使f(x)=0高等数学●戴本忠14二、零点定理与介值定理定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号那么在开区间(ab)内至少一点x使f(x)=0•推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)f(b)那么对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C在开区间(ab)内至少有一点x使得f(x)=C高等数学●戴本忠15设函数)(xf在闭区间ba,上连续，且在这区间的端点取不同的函数值Aaf=)(及Bbf=)(,那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间ba,内至少有一点x，使得Cf=)(x)(bax.证,)()(Cxfx=设,],[)(上连续在则baxCafa=)()(且,CA=Cbfb=)()(,CB=MBCAmxyo)(xfy=高等数学●戴本忠16,0)()(ba由零点定理,使),,(bax,0)(=x,0)()(==Cfxx即.)(Cf=x推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.至少与水平直线连续曲线弧Cyxfy==)(几何解释:.有一个交点高等数学●戴本忠17例2()[,],(),().(,),().fxabfaafbbabfxxx=设函数在区间上连续且证明使得证()(),Fxfxx=令()[,],Fxab则在上连续()()Fafaa=而0,由零点定理,(,),abx使()()0,Ffxxx==()()Fbfbb=0,().fxx=即高等数学●戴本忠18三、一致连续性定理5(一致连续性定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,那么它在该区间上一致连续.不论在区间I的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，就可使对应的函数值达到所指定的接近程度。定义：设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在着正数δ，使得对于区间I上的任意两点x1,x2，当|x1-x2|δ时，就有|f(x1)-f(x2)|ε，那么称函数f(x)在区间I上是一致连续的。高等数学●戴本忠19思考题下述命题是否正确？如果)(xf在],[ba上有定义，在),(ba内连续，且0)()(bfaf，那么)(xf在),(ba内必有零点.高等数学●戴本忠20思考题解答不正确.例函数==0,210,)(1xxexf)(xf在)1,0(内连续,.02)1()0(=ef但)(xf在)1,0(内无零点.高等数学●戴本忠21五、小结关于闭区间上连续函数整体性质的四个定理：有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理，注意条件：1．闭区间；2．连续函数．这两点不全满足时上述定理不一定成立．它们是研究连续函数性质的重要工具。高等数学●戴本忠22内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在)(.3xf],[ba则设,],[)(baCxf)(.1xf],[ba)(.2xf],[ba0)()(bfaf,),(bax.0)(=xf高等数学●戴本忠23作业•P74：2，3