直线与圆、圆与圆的位置关系-(共36张PPT)

[小题热身]1．(2017·沈阳一模)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程为()A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0解析：x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0,3)，又直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，则其斜率为1，故直线l的方程为y＝x＋3.选D.答案：D2．(2016·课标全国Ⅱ，4,5分)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－34C.3D．2解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为|a＋4－1|a2＋1＝1，解得a＝－43.故选A.答案：A3．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.∵3－2＜d＜3＋2，∴两圆相交．答案：B4．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋－12≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.答案：C5．(2015·重庆卷)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为__________．解析：∵以原点O为圆心的圆过点P(1,2)，∴圆的方程为x2＋y2＝5.∵kOP＝2，∴切线的斜率k＝－12.由点斜式可得切线方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0.答案：x＋2y－5＝06．(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为__________．解析：易知圆心坐标为(2，－1)，r＝2，所以圆心到直线的距离为d＝|2＋2×－1－3|5＝355，∴弦长l＝2r2－d2＝2555.答案：2555[知识重温]一、必记4●个知识点1．直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：利用判别式――→判别式Δ＝b2－4acΔ＞0⇔①Δ＝0⇔②Δ＜0⇔③(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系d＜r⇔④______；d＝r⇔⑤______；d＞r⇔⑥______.相交相切相离相交相切相离2．圆的切线方程若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为⑦____________.3．直线与圆相交直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有r2＝⑧____________，即l＝2r2－d2，求弦长或已知弦长求解问题，一般用此公式．x0x＋y0y＝r2d2＋l224．两圆位置关系的判断两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r＞0)，(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0)的圆心距为d，则(1)d＞r1＋r2⇔两圆⑨______；(2)d＝r1＋r2⇔两圆⑩______；(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2(r1≠r2)⇔两圆⑪______；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆⑫______；(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆⑬______外离外切相交内切内含二、必明2●个易误点1．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在情形．2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．考向一直线与圆的位置关系[自主练透型][例1]直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定[解析]解法一：由mx－y＋1－m＝0，x2＋y－12＝5消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，则Δ＝4m4－4(1＋m2)(m2－5)＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆C相交．故选A.解法二：因为圆心(0,1)到直线l的距离d＝|m|m2＋1＜1＜5，故直线l与圆相交，选A.解法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C相交．故选A.[答案]A——[悟·技法]——判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．——[通·一类]——1．(2017·大连市双击测试)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是__________．解析：法一将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得k∈(－3，3)．法二圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d＞1，即2k2＋1＞1，解得k∈(－3，3)．答案：k∈(－3，3)2．(2015·安徽卷)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或12解析：由3x＋4y＝b得y＝－34x＋b4，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.答案：D考向二圆的切线与弦长问题[互动讲练型][例2](2016·课标全国Ⅲ，16,5分)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________.[解析]根据直线与圆的位置关系先求出m的值，再求|CD|.由直线l：mx＋y＋3m－3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O到直线l的距离为d＝|3m－3|m2＋1.由|AB|＝23得3m－3m2＋12＋(3)2＝12，解得m＝－33.又直线l的斜率为－m＝33，所以直线l的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝π6.在Rt△CDE中，可得|CD|＝|AB|cosα＝23×23＝4.[答案]4——[悟·技法]——圆的切线与弦长问题的解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．——[通·一类]——3．(2017·湖南四地联考，5)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，过点(a，b)作圆的切线，则切线长的最小值是()A．2B．3C．4D．6解析：圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为点(－1,2)，半径为2.因为圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即b＝a－3，点(a，b)到圆心的距离d＝a＋12＋b－22＝a＋12＋a－3－22＝2a2－8a＋26＝2a－22＋18.所以当a＝2时，d取最小值18＝32，此时切线长最小，为322－22＝16＝4，所以选C.答案：C4．(2017·揭阳一模)已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O为坐标原点，且|OA→＋OB→|≥33|AB→|，则k的取值范围是()A．(3，＋∞)B．[2，22)C．[2，＋∞)D．[3，22)解析：由已知得圆心到直线的距离小于半径，即|k|2＜2，又k＞0，故0＜k＜22①.如图，作平行四边形OACB，连接OC交AB于M，由|OA→＋OB→|≥33|AB→|得|OM→|≥33|BM→|，即∠MBO≥π6，因为|OB|＝2，所以|OM|≥1，故|k|2≥1，k≥2②.综合①②得，2≤k＜22.选B.答案：B考向三圆与圆的位置关系[互动讲练型][例3]a为何值时，圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.(1)外切；(2)相交．[解析]将两圆方程写成标准方程．C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.(2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2.——[悟·技法]——圆与圆的位置关系的求解策略(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．——[通·一类]——5．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴圆心C1(－1，－1)，半径长r1＝2；圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C2(2,1)，半径长r2＝1.∴d＝－1－22＋－1－12＝13，r1＋r2＝3，∴d＞r1＋r2，∴两圆外离，∴两圆有4条公切线．答案：D6．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相内切，则ab的最大值为__________．解析：由C1与C2内切得a＋b2＋－2＋22＝1.即(a＋b)2＝1，又ab≤a＋b22＝14，当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为14.答案：14微专题(二十)——圆与一些知识的交汇已知m＝(2cosα，2sinα)，n＝(3cosβ，3sinβ)，若m与n的夹角为60°，则直线xcosα－ysinα＋12＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝12的位置关系是()A．相交B．相交且过圆心C．相切D．相离[解析]由向量的夹角公式得cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝12，圆心(cosβ，－sinβ)到直线的距离d＝|cosβcosα＋sinβsinα＋12|cos2α＋sin2α＝1＞22，∴直线与圆相离．[答案]D[跟踪训练]1．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2，r＞0}，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值为__________．解析：∵A∩B中有且仅有一个元素，∴两圆x2＋y2＝4，(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切．当两圆内切时，5＝|r－2|，∴r＝7；当两圆外切时，5＝|r＋2|，∴r＝3.答案：7或32．设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是__________．解析：圆心(1,1)到直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0的距离为|m＋n|m＋12＋n＋12＝1，所以m＋n＋1＝mn≤14(m＋n)2，所以m＋n≥2＋22或m＋n≤2－22.答案：(－∞，2－22)∪[2＋22，＋∞)[方法探究]1．直线、圆与其他知识的交汇成为高考的热点，本例是直线、圆、平面向量与三角函数的交汇，直线、圆还经常与不等式、集合等知识交汇．2．解决此类创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所