传染病的随机感染模型

传染病的随机感染模型问题提出人群中有病人（带菌者）和健康人（易感染者），任何两人之间的接触是随机的，当健康人和病人接触时健康人是否被感染也是随机的。如果通过实际数据或经验掌握了这些随机规律，那么怎么样估计平均每天有多少健康人被感染，这种估计的准确性有多大？模型假设我们不对传染病的感染机理和人群的接触状况做具体分析，而提出如下的一般化假设：1.人群只分析任何健康人两类，病人数和健康人数分别记为i和s，总数n不变，即：i+s=n2.人群中任何二人的接触是相互独立的，具有相同的概率，每人每天平均与m人接触。3.当健康人与一病人接触是，健康人被感染的概率为。这里涉及到4个独立参数n、i、m、。其中n和i通常是知道的，m和也可以根据数据或经验获得。模型分析建模的目的是寻找健康人中每天平均被感染的人数与已知参数n、i、m、的关系，为此显然只需知道一健康人每天被感染的概率，而健康人只要至少被一名病人接触并感染，这个健康人即被感染，所以先要求出一健康人被一名指定病人接触并感染的概率。这个概率可由一健康人被一名指定病人接触的概率乘以接触时感染的概率得到。模型构成记假设2中任何两人接触的概率为p，这就是一健康人与一名指定病人接触的概率。由两两接触的相互独立性，一健康人每天接触的人数服从二项分布，根据假设2这个分布的平均值是m，利用二项分布的基本性质并注意到人群总数为n，我们有pnm)1(（1）于是1nmp（2）再记一健康人被一名指定病人接触并感染的概率为1p，则由假设3及（2）式得11nmpp（3）为求出一健康人每天被感染的概率(也就是至少被一个病人感染的概率)2p，我们利用概率论中常用的计算对立事件概率的方法得iinmpp)11(1)1(112（4）健康人被感染的人数也服从二项分布，其平均值，即健康人每天平均被感染人数，显然为(并利用（1）式)22)(pinps（5）均方差为))(1()1(2222inpppsp（6）为了得到简明的便于解释的结果，需对（4）式进行简化。因为通常1,nmn，取（4）式右端展开级数的前两项，nminmip)1(12（7）最后得到ninmi)(（8）)()(122inmiminpinp（9）（8）式给出了健康人每天平均被感染人数和n、i、m、的关系，（9）式可看作对平均值的相对误差的度量。模型解释由（8）式可以看出，健康人每天平均被感染的人数与人群中每人每天平均接触的人数m以及接触时被感染的概率成正比，并且随着人群总数n增加而增加，这都符合常识的。至于与病人数i的关系，（8）式表明当i很小或很大（甚至接近n）时都很小，而当2ni时最大，这个结果合理吗？思考！为了有一个直观的了解，给出几组数字结果。设1.0,20m，对于不同的i，计算和/，见下表：i与、/的计算结果i0.1n0.05n0.01n0.18n0.95n0.0198n/n1.2n1.3n0.7随着i的增加，增加而相对误差/减少；当ni固定而n变大时，/也减少。比如当i=0.05n,n=10000时能以95%的置信区间给出，每天平均被感染的人数为950，相对误差约为6%左右。评注这个模型完全建立在对于人群之间的接触、感染这样一些随机事件的概率假设的基础上，虽然看来这些假设与实际情况有差异，但是在对传染病的传染没有掌握进一步的规律和数据之前，只能作最初步的简化假设，已达到我们的建模目的。