中南大学线性代数-5.3-正定二次型

第三节正定二次型第五章二、正（负）定二次型的概念一、惯性定理三、正（负）定二次型的判别四、小结一、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．下面限定所用变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质．22211222221122111(),0,0,.TrrirrirrfxAxrxCyxPzfkykykykfzzzkk定理惯性定理设实二次型的秩为有两个实的可逆变换及使及则,,中正数的个数与,中正数的个数相等二次型的标准形中正系数的项数称为二次型的正惯性指数，负系数的项数称为二次型的负惯性指数.二、正(负)定二次型的概念(),0,TfxxAxx定义设有实二次型对于任意的(1)0,,;fxfA如果都有则称为正定二次型并称对称矩阵是正定的(2)0,,fxfA如果都有则称为半正定二次型并称对称矩阵是半正定的；(3)()0,,fxfA如果都有则称为负定二次型并称对称矩阵是负定的；(4)()0,,.fxfA如果都有则称为半负定二次型并称对称矩阵是半负定的.ff如果二次型既不是半正定又不是半负定，则称是不定的证明使设可逆变换Cyx.21iniiykCyfxf充分性.,,10niki设,0x任给,0xCy1-则故.021iniiykxf三、正(负)定二次型的判别2:.TfxAxnn定理实二次型为正定的充分必要条件是它的标准形的个系数全为正,即它的正惯性指数等于必要性,0sk假设有(),syen则当维单位向量时.0sskCef,0sCe显然.为正定相矛盾这与f故.,,10niki推论对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正．AA22212nzzz推论正定二次型的规范形为:.TfxAxn定理实二次型为负定的充分必要条件是它的负惯性指数等于,011a,022211211aaaa,11110;nnnnaaAaa.,,2,1,011111nraaaarrrrr这个定理称为霍尔维茨定理．定理3对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式都为正，即AA对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即A正定矩阵具有以下一些简单性质T11.,A,,;AAA设为正定矩阵则均为正定矩阵2.,,.ABnAB若均为阶正定矩阵则也是正定矩阵注意：正定矩阵必须为实对称矩阵提示对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正．AA提示利用正定矩阵的定义3.,01,2,,.ijiiAanain若为阶正定矩阵则0,x对任意有0TxAx0,0,1,0,,0(),Tixen取维单位向量01,2,,.TiixAxain则逆否命题：若矩阵主对角线上的某个元素小于或等于0，则此矩阵一定不为正定矩阵．例1判别二次型32312123222132148455,,xxxxxxxxxxxxf是否正定.解的矩阵为321,,xxxf,524212425它的顺序主子式,055210,2152421210,425故上述二次型是正定的.例2判别二次型312322213214542,,xxxxxxxxf是否正定.解二次型的矩阵为,502040202A用特征值判别法.0AE令.6,4,1321故此二次型为正定二次型.即知是正定矩阵，A例3判别二次型xzxyzyxf44465222的正定性.解的矩阵为f,0511a,026622522211211aaaa,080A3.f根据定理知为负定,402062225A2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法.ff二次型负定二次型-正定解(,),,,TTTzxymnxymn设为维向量其中分别是维和维列向量yxBAyxCzzTTT00),(,0ByyAxxTT.,为正定矩阵故是实对称阵且CC1.,,,0.0ABmnACB设分别为阶阶正定矩阵试判定分块矩阵是否为正定矩阵思考题说明：此题也可由特征值判别法判别C显然是对称阵0,,,zxy若则不同时为零向量于是22.(),,.TAAAEAE已知是实反对称矩阵即满足试证为正定矩阵其中是单位矩阵2EA故为实对称矩阵.0,x对任意有2()TxEAx2.EA故是正定矩阵()TTxEAAx证明：2TTTEAEAATTEAAEAA2EA()0TTxxAxAx