2015-2016学年高中数学-第一章-计数原理章末归纳总结课件-新人教A版选修2-3

计数原理第一章章末归纳总结第一章典例探究学案2自主预习学案1自主预习学案1．两个计数原理完成一件事→—有n类方案→N＝m1＋m2＋…＋mn→分类加法计数原理—需要n个步骤→N＝m1m2…mn→分步乘法计数原理运用两个计数原理解题的关键在于正确区分“分类”与“分步”．分类就是能“一步到位”——任何一类中任何一种方法都能完成这件事情，而分步则只能“局部到位”——任何一步中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成．2．排列与组合(1)排列与组合的定义从n个不同的元素中取出mm≤n个不同的元素—→按一定的顺序排成一列→排列→并成一组→组合(2)排列数与组合数公式及关系Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！；Cmn＝nn－1n－2…n－m＋1m！＝n！m！n－m！.组合数的性质：Cmn＝Cn－mn，Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1.(3)排列组合应用题的解题策略①特殊元素、特殊位置优先安排的策略；②合理分类与准确分步的策略；③正难则反，等价转化的策略；④相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法的策略；⑤元素定序，先排后除的策略；⑥排列、组合混合题先选后排策略；⑦复杂问题构造模型策略．3．二项式定理(1)二项式定理的内容(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)．(2)通项公式：Tk＋1＝Cknan－kbk.(3)二项式系数Ckn(k＝0,1，…，n)的性质①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．②增减性与最大值．③各二项式系数的和：C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n.(4)解决二项式定理问题的注意事项①运用二项式定理一定要牢记通项Tk＋1＝Cknan－kbk，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的．另外，二项式系数与项的系数是两个不同概念，前者指Crn，后者指字母外的部分．②求二项式中项的系数和，用“赋值法”解决，通常令字母变量的值为1、－1、0等．③证明整除问题一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”、“消去法”结合整除的有关知识解决．1．正确区分“分类”与“分步”，恰当地进行分类，使分类后不重、不漏．2．正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序”和“有序”区分开来．3．正确区分分堆问题和分配问题4．二项式定理的通项公式Tk＋1＝Cknan－kbk是第k＋1项，而不是第k项，注意其指数规律．5．求二项式展开式中的特殊项(如：系数最大的项、二项式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项…)时，要注意n与k的取值范围．6．注意区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”，展开式中“二项式系数的和”与“各项系数的和”，“奇(偶)数项系数的和”与“奇(偶)次项系数的和”．1．将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为()A．96B．114C．128D．136[答案]B[解析]若某一学校的最少人数是1、2、3、4、5，则各有7、5、4、2、1种不同的分组方案．故不同的分配方法种数是(7＋5＋4＋2＋1)A33＝19×6＝114.2．若从1、2、3、…、9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种[答案]D[点评]分类讨论思想在排列组合题目中应用广泛．[解析]本题考查了排列与组合的相关知识．取出的4个数和为偶数，可分为三类．四个奇数C45，四个偶数C44，二奇二偶，C25C24.共有C45＋C44＋C25C24＝66种不同取法．3．若二项式(x2－2x)n的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为()A．－240B．－160C．160D．240[答案]D[解析]由条件知2n＝64，∴n＝6，∴Tr＋1＝Cr6(x2)6－r·(－2x)r＝(－1)r·2r·Cr6x12－3r令12－3r＝0得r＝4，∴常数项为T5＝24·C46＝240.4．(2015·衡水市枣强中学高二期中)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有()A．48种B．72种C．96种D．108种[答案]B[解析]设四棱锥为P－ABCD．下面分两种情况即C与B同色和C与B不同色来讨论，P的着色方法种数为C14，A的着色方法种数为C13，B的着色方法种数为C12，当C与B同色时C的着色方法种数为1，D的着色方法种数为C12.当C与B不同色时C的着色方法种数为1，D的着色方法种数为1.综上两类共有C14·C13·2·C12＋C14·C13·2＝48＋24＝72种结果．故选B．5．(2015·河北衡水中学三调)在ax6＋bx4的二项展开式中，如果x3的系数为20，那么ab3＝()A．20B．15C．10D．5[答案]D[解析]Tr＋1＝Cr4a4－rbrx24－7r，令24－7r＝3，得r＝3，则4ab3＝20，∴ab3＝5.6．(2015·河南六市联考)已知a＝0π(sint＋cost)dt，则x－1ax6的展开式中的常数项为________.[答案]－52[解析]a＝0π(sint＋cost)dt＝(－cost＋sint)|π0＝2，∴x－12x6的展开式的常数项为T4＝C36x3－12x3＝－52.7．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．[答案]36[解析]考查排列组合知识．必有2个大学生去同一个乡镇，故不同的分配方案共有C24·A33＝36种．8．某校开设了9门课程供学生选修，学校规定每位学生选修4门，其中A、B、C3门课程由于上课时间相同，所以每位学生至多选修1门，则不同的选修方案共有________种．[答案]75[解析]由题意知，满足题意的选修方案有两类：第一类是所选的4门全来自于除A，B，C外的6门课程，相应的不同选修方案有C46＝15种；第二类是所选的4门中有且仅有1门来自于A，B，C，另3门从除A，B，C外的6门课程中选择，相应的不同选修方案有C36C13＝60种．由分类加法计数原理可得满足题意的选修方案总数是15＋60＝75.典例探究学案分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别在于：前者——分类加法计数原理每次得到的是最后结果；后者——分步乘法计数原理每次得到的是中间结果．分类加法计数原理和分步乘法计数原理现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232B．252C．472D．484[答案]C[分析]“所取3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张”，则解题的突破口应是3张卡片中含红色卡片的张数，故按红色卡片的张数分类：当含1张红色卡片时，需从其余的12张卡片中取2张；当不含红色卡片时，需从其余的12张卡片中取3张，这时有可能3张卡片同色，故可用间接法求解，3张同色时，可以同为黄色，也可以同为蓝色或绿色．[解析]C04C312－3C34＋C14C212＝12×11×106－12＋4×12×112＝220＋264－12＝472.[点评]解题时要注意直接求解与间接求解相结合，做到不漏不重将3种作物种植在如图所示的5块实验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有________种(以数字作答)．[答案]42[解析]解法1：第一块田有3种种法，对于它的每一种种法，第二块田都有2种种法，用a、b、c表示三种作物，若第一块田种植a作物，第二块田种植b作物，则种植情况如下表：由表可知，所有不同的种值方法共有3×2×7＝42种．解法2：三种作物种植在5块实验田里，按每种作物种植实验田的块数分类，可分为两类：第一块田第二块田第三块田第四块田第五块田ababcca或bcab或cba或b第一类，其中一种作物种植3块实验田，另两种作物各种植1块实验田，有不同种法2C13＝6种；第二类，有两种作物各种植2块实验田，另一种作物种植1块实验田，先从三种作物中选出1种，种植在其中的1块实验田里，不妨设3种作物分别为a、b、c，选出的作物为c，则将c种植在第1块和第5块的方法数相同，将c种植在第2块与第4块的方法数相同．将c种植在第1块时，如图，cababcbaba只有2种情形．将c种植在第2块时，如图acbabbcaba也只有2种情形．将c种植在第3块时如图abbabaababcba有4种情形．∴所有可能的不同种植方法有6＋C13×(2×2＋2×2＋4)＝42种．排列与组合的主要区别就是有序和无序，元素顺序不同结果不同的为排列；元素顺序不同，结果相同的为组合．排列、组合应用题3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体验，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有()A．90种B．180种C．270种D．540种[答案]D[解析]解法1：设计让3所学校依次挑选，先由学校甲挑选，有C13C26，再由学校乙挑选，有C12C24种，余下的到学校丙只有一种，于是不同的方法数共有C13C26C12C24＝540(种)．解法2：第一步，将3名医生分配到3所学校，每校1名，有A33种分法；第二步，将6名护士分配到3所学校，每校2名，有C26·C24·C22种分法．由分步乘法计数原理知，不同分配方法共有A33·C26C24C22＝540种．排列组合与几何问题结合命题，解答时要特别注意对相邻的点、线、平面区域的限制条件如何化归为排列、组合的有关模型，实现实际问题向数学问题的转化，注意避免重复计数和遗漏的错误．几何问题如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A．288种B．264种C．240种D．168种[答案]B[解析]当涂四色时，先涂A、E、D为A34，再从B、F、C三点选一个涂第四种颜色，如B，再F，若F与D同色，则涂C有2种方法，若F与D异色则只有一种方法，故A34A13(2＋1)＝216种．当涂三色时，先排A、E、D为C34A33，再排B有2种，F、C各为一种，故C34A33×2＝48，故共有216＋48＝264种，故选B．与二项式定理有关的题目，重点抓好通项公式，二项式系数的性质和赋值法的应用．二项式定理及其应用设(3x－1)6＝a6x6＋a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，求a6＋a4＋a2＋a0的值．[解析]令x＝1，得a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝26＝64；令x＝－1，得a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)6＝4096.两式相加，得2(a6＋a4＋a2＋a0)＝4160，∴a6＋a4＋a2＋a0＝2080.[点评]二项式定理是一个恒等式，对一切x的允许值都能成立．当求展开式的系数或者证明有关组合数的恒等式时，常常用此方法．