24.4-切线的判定(2)

直线与圆的位置关系相交相切相离图形公共点个数公共点名称直线名称圆心到直线距离d与半径r的关系2个交点割线1个切点切线drd=rdr没有lrdOlrdBAOlrdAOA.(-3,-4)Oxy已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则x轴与⊙A的位置关系是_____,y轴与⊙A的位置关系是_____。BC43相离相切-1-1.(-3,-4)OxyBC43-1-1A若⊙A要与x轴相切，则⊙A该向上移动多少个单位？若⊙A要与x轴相交呢？图中直线L满足什么条件时是⊙O的切线？Ol方法1：直线与圆有唯一公共点方法2：直线到圆心的距离等于半径注意：实际证明过程中，通常不采用第一种方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的判定方法。（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？（3）由此你发现了什么？O请在⊙O上任意取一点A，连接OA，过点A作直线L⊥OA。思考：lA(1)直线l经过半径OA的外端点A；(2)直线l垂直于半径0A．则:直线l与⊙O相切这样我们就得到了从“位置”的角度判定圆的切线——切线的判定定理．AOl切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。对定理的理解：切线必须同时满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径．AOlOrlA∵OA是半径，l⊥OA于A∴l是⊙O的切线定理的数学语言表达：判断：(1)过半径的外端的直线是圆的切线（）(2)与半径垂直的的直线是圆的切线（）(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×××OrlAOrlAOrlA切线的判定方法有三种：•①直线与圆有唯一公共点；•②直线到圆心的距离等于该圆的半径；•③切线的判定定理．即经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.判定直线与圆相切有哪些方法？已知一个圆和圆上的一个点，如何过这个点画出圆的切线？动手试一试！例1如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。例2如图，已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCEDOBACOABCED例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直.(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：无交点,作垂直,证半径.1、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O，OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O.求证：AB是⊙O的切线.FECOBA2、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°.求证:DC是⊙O的切线.ABCDO1、如图:线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD=∠B=30°，边BD交圆于点D,BD是⊙O的切线吗？为什么？AOBCD解：BD是⊙O的切线连接OD∵OD=OA∴∠ODA=∠BAD=∠B=300∴∠BOD=600∴∠ODB=900即：OD⊥DB又∵OD是⊙O的半径∴BD是⊙O的切线●2．如图，已知AB是⊙O的直径，点E在⊙O外，AE交⊙O于C，CD是⊙O的切线，交BE于点D，且DE＝DB，求证：BE是⊙O的切线。3．如图，△ADC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，且∠EAC＝∠P。求证：AE是⊙O的切线。4、如图，已知：AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与边BC、AB交于D、E两点，过D点作DF⊥AC于F，解：连结OP∵AC与⊙O相切于点P，∴OP⊥AC由（1）可知OD∥AC，且DF⊥AC，故四边形ODFP为正方形∴PF=OD=OB=3设AC=x，则在Rt△APO中有AP2+OP2=OA2即(x－4)2+32=(x－3)2解得x=8∴AC=8（2）如果AC与⊙O相切于点P，⊙O的半径为3，CF=1，求AC的长。P（1）求证：DF是⊙O的切线。5、如图，AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB．AODCB证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.∴∠ACO＝∠CAD.又∵OC=OD,∴∠CAO＝∠ACO∴∠CAD＝∠CAO,故AC平分∠DAB．方法：“见切点，连半径，得垂直”6.如图（a）AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，且∠CAE＝∠B(1)、试说明AE与⊙O相切于点A.(2)、如图（b）,若AB是⊙O的非直径的弦，且∠CAE＝∠B，AE与⊙O还相切于点A吗？EEbaBOOAACBC7、如图，直线y=－x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，以点C（，0）为圆心，OC的长为半径作⊙C，求证：AB是⊙C的切线。M分析：由于不知AB和⊙C是否有公共点，故考虑过C作CM⊥AB于M，再证CM为⊙C的半径即可3434证明：过C点作CM⊥AB于M点，∵直线y=－x+4交x轴、y轴于B、A点∴A的坐标为（0，4），B的坐标为（3，0）∴OA=4，OB=3，BC=3－=又由勾股定理可知AB===5由S△ABC=AB·CM=BC·AO得∴×5·CM=××4∴CM=∴CM=OC又CM⊥AB故AB为⊙C的切线343422OBOA2234351212351212348、yxO·CAByxO·CAB·解：①当E点运动到O点时⊙C与直线OA相切，设此时的圆心为C1，于是有OC1=CE=－3－（－10）=7∴CC1=3∴t1=3÷2=1.5（秒）yxCOC1·AB·C2·OABPxy·③设当C运动到C3时圆与直线OA相切于O点，于是有OC3=7∴C3（7，0）∴C3C=7－（－10）=17t3=17÷2=8.5（秒）OABC3·C2·xy·③设当C运动到C4时圆与直线AB相切于Q点，连C4Q，则C4Q⊥AB∠C4BQ=30°∴BC4=2C4Q=14∴CC4=10+12+14=36∴t4=36÷2=18（秒）OABC4xC3yQ切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.