第九讲(1)-机器人动力学--拉格朗日方程

山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿—欧拉方程实例例2：如图所示为两杆平面机器人，为了简单起见，我们假设每个杆件的质量集中于杆件的前尾部，其大小为m1和m2。222111ˆ,ˆXlPXlPcc解：每个杆件的质量中心矢量为：由于点质量假设，每个杆件相对质心的惯性张量为零，即：0,021ccII山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿—欧拉方程实例末端执行器上无作用力，所以：0,000基座静止，因此：考虑到引力，我们使用：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿—欧拉方程实例应用递推公式有：向前：1杆件：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿—欧拉方程实例2杆件：惯性力惯性力矩山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿—欧拉方程实例山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿—欧拉方程实例向后递推：2杆件：1杆件：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿—欧拉方程实例取力矩的Z分量，得到关节力矩：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿—欧拉方程实例11212122222212212212222122221221222221211cos)cos(sinsin2]cos[]cos2)[(glmmglmllmllmllmlmllmlmlmm）（)cos(sincos212221221222221221212222glmllmlmllmlm）（整理得：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿—欧拉方程实例通常，机器人的动力学方程常写为抽象的形式，令：离心力科氏力21山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02称为惯量阵，是离心力、科氏力等相关部分，为重力部分。因为中仅有速度和位形，上述方程也称状态空间方程。特点：多变量、时变、非线性、强耦合。机器人机构动力学方程有：QGVM)(),()(其中：为广义坐标向量，为广义力向量。)(M)(G),(VQ),(V山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3机器人拉格朗日动力学方程简介拉格朗日方程是基于能量项（动能T、势能V）对系统变量及时间的微分而建立的。对于简单系统拉格朗日方程法相较于牛顿—欧拉方程法更显复杂，然而随着系统复杂程度的增加，拉格朗日方程法建立系统运动微分方程变得相对简单。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02—系统的动能和位能之差，称为拉格朗日函数，即：4.3机器人拉格朗日动力学方程简介系统拉格朗日方程为：iiidLLQdtqq1,2,...in式中：niQLkEpEkpLEE——系统的广义坐标数——作用在第i个广义坐标上的广义力或广义力矩——第i个广义坐标——第i个广义速度iqiq山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3机器人拉格朗日动力学方程简介例3：对例2所示两杆平面机器人用拉格朗日方法建立动力学方程。解：1、动能和势能连杆1的动能为：设Y0=0为零势面，则连杆1的势能为：21111)(21lmT1111singlmV山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3机器人拉格朗日动力学方程简介质量m2的位置表示为：)sin(sin)cos(cos212112212112llyllx))((coscos))((insin212121112212121112llysllx则质量M2的速度平方为：)cos(2)2())((coscos))((insin2121212221212221212212121112212121112222llllllsllyx）（）（)](cos2)2([21212122122212122212122llllmT所以，M2动能为：速度分量为：势能为：)sin(sin21221122glmglmV山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3机器人拉格朗日动力学方程简介2、拉格朗日函数)sin(sin)()(cos)(21)(2121221121212122122212222121212211glmglmmllmlmlmmVTVTL3、动力学方程)2(cos)()(21221221222121211llmlmlmmL)cos(cos)(212211211glmglmmL222212212212222122221221222221211sinsin2]cos[]cos2)[(llmllmllmlmllmlmlmmLdtd山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3机器人拉格朗日动力学方程简介12212212222cos)(llmlmL21和21和广义坐标为对应的广义外力为作用于的关节上的驱动力距。)cos()(in212221122122glmslglmL21221212212222212222sincosllmllmlmlmLdtd222111--LLdtdLLdtd山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3机器人拉格朗日动力学方程简介代入：比较例2与例3可知，用牛顿-欧拉法与拉格朗日法得到的结果是相同的。)cos(cossinsin2]cos[]cos2)[(21221121222212212212222122221221222221211glmglmmllmllmllmlmllmlmlmm）（)cos(sincos212221221222221221212222glmllmlmllmlm）（山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3机器人拉格朗日动力学方程简介步骤总结：1、机械臂上一点速度设杆件i上一点ri，它在基坐标系中的位置为：iirTr其中，Ti是{i}坐标系相对基础坐标系的齐次变换矩阵。那么，该点的速度为：iijjjiirqqTdtdrv1山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3机器人拉格朗日动力学方程简介求出速度的平方：21111TTiiTiijkjkjkTiiTiijkjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqqvvvvvTTrrTTrr山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3机器人拉格朗日动力学方程简介•2、求系统动能11111111212TnniiiikkiijkiijkjkTniiiiijkijkjkEETraceqqqqTraceqqqqTTHTTH3、求系统位能11nnTPpiiiiiiEEmgTr山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3机器人拉格朗日动力学方程简介4、计算拉格朗日函数1112111212ktpTniiiiijkijkjknnTaiiiiiiiLEETraceqqqqqmTTHIgTrkpLEE山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3机器人拉格朗日动力学方程简介5、代入拉格朗日方程1211TniiiikappipkiikpTniiiiijkipjkjkpnTiiiippdLLTraceqqdtqqqqTraceqqqqqmqTTHITTHTgr山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3机器人拉格朗日动力学方程简介1211TjnjjijkaiijikkiTjjnjjjkmjikmkminjTjijiiTraceqqqqTraceqqqqqmqTTQHITTHTgr作用在关节上的广义力为：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3机器人拉格朗日动力学方程简介,,,111nnniijkaiiijkkmijjkQDqqDqqDI上式进一步写成式中,max(,)TnppijppijjiDTraceqqTTH2,,max(,,)TnppijkppijkjkiDTraceqqqTTHnpTipppiiDmqTgr