铅球掷远问题-数学模型

2012年四川理工学院第九届大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了四川理工学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果实违反竞赛规则的，如果引用别人的成果后其他公开的资料(包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公平、公正性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写)：C我们的参赛报名号为(如果设置报名号的话)：所属学校(请填写完整的全名)：四川理工学院黄岭校区参赛队员(打印并签名)：1.赵彬2.李欣3.尹欢欢日期：2012年5月22日评阅编号(由评委团评阅前进行编号)：编号专用页评阅编号(由评委团评阅前进行编号)：评阅记录表评阅人评分备注铅球投掷问题摘要本文主要对影响铅球掷远成绩因素进行了研究，采用牛顿力学等物理的分析法和微分知识建立了数学模型，运用MATLAB软件编程绘图进行模型求解和分析，使问题得以解决。问题一，由于空气阻力、铅球本身、天气情况等因素的影响相对较小，可忽略。运用运动物理学知识建立投掷水平位移L和出手角度θ、出手速度v之间的多元方程关系，对掷远水平位移L关于θ求导可知，简化可得到最优出手角度θ与出手速度v和出手高度h之间的函数关系，再运用MATLAB软件编程将这一关系图作出(见图3),可直观的判断运动员最优出手角度的大致范围在3842之间。问题二，为分析最优出手角度θ与出手速度v的制约关系，先对铅球做力学分析，运用牛顿力学知识建立数学模型（见方程（13）），根据该模型可知，最优出手角度θ会随出手速度v的减小而减小，结合方程（9）可得，运动员不能使初速度达到最大的情况下，应适当减小投掷角度的结论。再利用MATLAB软件编程将投掷水平位移L和出手角度θ、出手速度v之间的关系图作出(见图5)，可以确切的求出各个最优角度与初速度的对应值。问题三，分析了影响铅球投掷远度的因素，从空气阻力、推力大小、出手高度、施力距离对铅球掷远距离L的影响分别建立函数模型，通过取点绘图的方法比较各因素的影响，最后根据结论有效的分析了教练员在训练运动员时应从哪些方面提高运动员的成绩。关键词：运动物理学多元方程MATLAB编程图形分析力学分析一、问题提出1.1背景资料与条件众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。如图1：2.135m图1铅球投掷场地1.2需要解决的问题(1)建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。最优的出手角度是什么？(2)如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？(3)分析影响铅球投掷远度的因素有哪些？并由此分析下教练员在训练运动员时应从哪些方面提高运动员的成绩。451.3参考资料参考数据资料如下：表1李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩姓名出手速度)/(smv出手高度)(mh出手角度)(o实测成绩李梅素13.751.9037.6020.95李梅素13.522.0038.6920.30斯卢皮亚内克13.772.0640.0021.41表2我国优秀运动员的铅球投掷数据姓名成绩s(m)出手速度)/(smv出手角度)(o出手高度)(mh李梅素19.4013.1640.272.02李梅素20.3013.5138.692.00黄志红20.7613.5837.752.02隋新梅21.6613.9539.002.04李梅素21.7614.0835.131.95二、问题分析铅球是一项非常重要的体育竞技项目，而在一些重要的比赛中，运动员经过训练，其投掷铅球的力度基本相同，也就是说决定竞赛胜负的往往是运动员的掷球技巧。而要提高技巧，运动员必须对铅球的整个运动情况有所了解，以下是对各个影响铅球掷远因素的分析：问题一，为求出最佳投掷角，考虑到空气阻力的影响非常小可以忽略。首先必须对铅球的整个运动情况进行运动学的分析，根据运动学知识求出投掷水平位移L和出手角度θ、出手速度v之间的多元方程后，再对L关于θ求导，便可求得最佳出手角度θ的表达式。问题二，分析最优出手角度θ与出手速度v的关系可以通过分析铅球受力情况，用牛顿力学公式表示出定量推力F0与最优出手角度θ、出手速度v之间的等式，从而容易分析出θ与v之间的制约关系，另外为了更形象地表达出投掷水平位移L和出手角度θ、出手速度v之间的关系，我们可以将这一关系绘到同一图形中，从而可求出v变化，θ随之变化的具体取值。问题三，主要考虑影响铅球投掷远度的因素，有空气阻力、推力大小、出手高度和施力距离四个方面。空气阻力的影响可以根据通常情况下的空气阻力参数(实验求得定值)，建立含阻力的多项式方程，根据微分知识求得实际距离L关于出手角度θ与出手速度v之间的关系。其它因素均可根据问题一、二中的公式变形后作图分析。三、基本假设1.假设铅球被看做一个质点；2.假设出手速度与出手角度无关；3.假设运动员的每次成绩都有效；4.假设投掷过程中忽略空气阻力的影响；5.假设铅球本身、运动员身体状况、天气等条件对运动员的影响不计；6假设投掷范围内引力常数、空气密度、风速相同；四、模型使用符号说明h人和手臂的长1h铅球到达最高的位置与手臂的垂直距离H铅球到达最高的位置与地面的垂直距离v铅球投掷的初速度xv铅球投掷的水平速度yv铅球投掷的垂直速度速度方向与投掷的水平方向所成角L铅球下落地点与人的距离g当地重力加速度g=9.8m/s2铅球到达最高点所需时间铅球从开始到落地所需的时间0F手对铅球的推力M铅球的质量G铅球的重力a铅球运动的加速度F空气阻力C形状阻力系数K空气密度阻力系数，)27304737.0(21tpKS模型的阻力面积(20113.0mSA，200785.0mSB)P大气压强t气温五、建立模型5.1最优出手角度模型对于运动员投掷铅球，由于出手速度和出手角度不同，投掷的水平位移也不一样，当水平位移达到最大时，即其导数等于0时，可得出手角度与出手速度之间的关系。同如图2所示，以运动员站处为原点O,竖直方向为Y轴，铅球的落地点与O点连线为X轴：hO图2铅球的运动轨迹由模拟模型和物理学知识，可得水平速度和垂直速度分别为：cosvvxsinvvy(1)则第一次到达最高点所需时间为：tH（t)Vθt1t2gvtsin1(2)第一次到达最高点所需时间和最高点到落地点的距离之间的关系式：gvhgthtH2sin21)(2212(3)可设该抛物线方程为:gvhgvtatH2sin)sin()(222(4)当t=0时，H(t)=h,代入(4)式得：2ga(5)则该抛物线方程式为:gvhgvtgtH2sin)sin(2)(222(6)当H(t)=0时,t=t2,代入(6)式得：gvgvghtsinsin22222(7)水平位移与速度、时间之间的关系为：2tvLx(8)将(1)式、(7)式代入(8)式得：)2sinsin(cos22ghvvgvL)(9)由(9)式可以看出，当初速度一定时，水平位移L只与出手角度有关，若L有最大值，则关于L的导数等于0有解，即0ddLghvgvgvL2sincos22sin'222ghvgvgv222242cos242sin22sin）2sincos82cos2sin22cos2sin(2sincos8124222222vghvghvvghg=0所以2sincos82cos2sin22cos2sin24222vghvghv=002sincos8)2sin2tan2(242222vghvvgh222222cos82sin2tan42tan4ghvghvhg2cos22sin2tan2tan2222vvgh2cos)12(cos2cos2sin2sin22222vvgh于是hvgg/2cos2(10)由此可得当=21arccoshvgg/2时，投掷距离最远，即L达到最大。图3为速度v所对应的的函数图象，由图像容易得出最优出手角度的大致范围在3842之间。8101214161820222426051015202530354045图3V-θ图形5.2折中出手角度与出手速度模型由式(10)可知当v变化，将发生一系列变化。在该运动过程中，铅球做匀加速运动，在某一点对铅球进行受力分析如图4：θV0FsinGG图4受力分析由牛顿第二定律可得：MaGFsin0(11)由运动学公式可得：taSv22(12)从而推得MGFSvtsin2(13)通过观察以上式子我们可得：当增大时，合力减小，从而加速度a减小，速度v也减小，所以出手速度与出手角度相互不独立，相互影响；将该式代入(9)式可得：MgMgSFSLttcossin)sin22(222222cossin)sin22(cos)sin44(gMMgSFSMghMgSFStttt(14)进一步说明了所以在运动员不能使初速度达到最大的情况下，出手角度与出手速度都应考虑。利用MATLAB软件编程将投掷水平位移L和出手角度θ、出手速度v之间的关系图如图5，从图中可以得以下结论：速度不能达到最大值时更应该考虑降低出手角度，且由于出手角度θ、出手速度v之间相互制约，所以二则变化要一一对应，即每减小出手速度v都要考虑适当减小出手角度θ。68101214161820222426222426283032343638404244L1a关于a-v-L1的图线图5θ-V-L曲线图5.3考虑空气阻力、推力大小、出手高度、施力距离的模型5.3.1空气阻力的影响虽然空气阻力很小，但毕竟有所影响，以下讨论空气阻力对投掷水平位移的影响：我们需要通过建立铅球模型阻力实验来求得相关数据。实验设备：80cm×120cm的风洞、测速仪、测力仪、与实物几何形状相同的铅球模型(直径为12cm，10cm的铅球模型)、气压计、气温计等设备。选定空气流速为5,8,10,12,15(m/s)五种速度，分别测出两种模型的阻力，结果见下表：试验件阻力(f)风速58101215模型Ad=12cm0.105060.26520.375360.53040.83538模型Bd=10cm0.065280.175440.26520.370260.61047表3模型阻力(单位：N)注：气压HgmmP/2.774，气温9t，测力仪的转动比为5:1根据铅球模型阻力的测试，由测得的数据绘成阻力曲线与二次函数曲线相符合，可得阻力公式为：2CKSvF（14）由牛顿第二定律2CKSvMa（15)其微分形式为2CKSvdtdvM(16)对(9)式积分可得实际距离公式为:]1)2sinsin(cosln[22ghvvMgCKSvCKSMLS(17)根据实际的铅球大小及质量等数据，可以取得以下数据:541.0C26.7M0113.0S065.0K8.9g（此处假设0.2hm）将这些数据代入(17)式可得：)1103539.5ln(7768.18674LLs（18）取22，24，26,...,44和0.8v，5.8，0.9，...,0.15(m/s)分别代入公式（9）、（10）、（13），将所得数据与对应的，v绘成曲线(图6)，则可得出手角度，出手速度与投掷水平位移之间的关系。由图形可知空气阻力对实际成绩的影响非