2013届高考物理第一轮考点自清复习课件27

第3课时专题：带电粒子在匀强磁场中的运动题型互动探究题型一带电粒子在磁场中运动的极值问题解决此类问题的关键是：找准临界点．找临界点的方法是：以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．(2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．(3)当速率v变化时，圆周角大的，运动时间越长．1．磁感应强度的极值问题例1如图1所示，一带正电的质子以速度v0从O点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场．已知两板之间距离为d，板长为d，O点是板的正中间，为使质子能从两板间射出，试求磁感应强度应满足的条件(已知质子的带电荷量为e，质量为m)．图1解析第一种临界情况是质子从N点射出，此时质子轨迹是半个圆，如图所示，半径为ON2＝d4.所以R1＝mv0eB1＝d4，B1＝4mv0de第二种临界情况是质子恰好从M点射出，轨迹如图所示，由平面几何知识得R22＝d2＋(R2－d2)2又R2＝mv0eB2，B2＝4mv05de磁感应强度B应满足的条件是4mv05de≤B≤4mv0de.答案4mv05de≤B≤4mv0de2．偏角的极值问题例2在真空中，半径r＝3×10－2m的圆形区域内有匀强磁场，方向如图2所示，磁感应强度B＝0.2T，一个带正电的粒子以初速度v0＝106m/s从磁场边界上直径ab的一端a射入磁场，已知该粒子的比荷qm＝108C/kg，不计粒子重力．(1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径；(2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时v0与ab的夹角θ及粒子的最大偏转角．图2解析(1)粒子射入磁场后，由于不计重力，所以洛伦兹力提供圆周运动需要的向心力，根据牛顿第二定律有qv0B＝mv02RR＝mv0qB＝5×10－2m.(2)粒子在圆形磁场区域运动轨迹为一段半径R＝5cm的圆弧，要使偏转角最大，就要求这段圆弧对应的弦最长，即为图形区域的直径，粒子运动轨迹的圆心O′在ab弦的中垂线上，如图所示．由几何关系可知sinθ＝rR＝0.6，θ＝37°最大偏转角β＝2θ＝74°.答案(1)5×10－2m(2)37°74°3．时间的极值问题例3如图3所示，半径为r＝0.1m的圆形匀强磁场区域边界跟y轴相切于坐标原点O，磁感应强度B＝0.332T，方向垂直纸面向里．在O处有一放射源，可沿纸面向各个方向射出速率均为v＝3.2×106m/s的α粒子．已知α粒子质量m＝6.64×10－27kg，电量q＝3.2×10－19C，不计α粒子的重力．求α粒子在磁场中运动的最长时间．图3解析由qvB＝mv2R得R＝mvqB＝0.2mr＝0.1m因此要使α粒子在磁场中运动的时间最长，则需要α粒子在磁场中运动的圆弧所对应的弦长最长，从图中可以看出，沿以直径OA为弦、R为半径的圆弧所做的圆周运动，α粒子在磁场中运动的时间最长．由T＝2πmqB，运动时间tm＝2θ2πT，又sinθ＝rR＝0.5，得tm＝6.5×10－8s.答案6.5×10－8s4．磁场区域面积的极值问题例4不计重力的带正电粒子，质量为m，电荷量为q，以与y轴成30°角的速度v0从y轴上的a点射入图4中第一象限所在区域．为了使该带电粒子能从x轴上的b点以与x轴成60°角的速度射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感强度为B的匀强磁场，若此磁场分布在一个圆形区域内，试求这个圆形磁场区域的最小面积．图4解析粒子在磁场中做半径为R＝mv0qB的圆周运动，根据题意，粒子在磁场区域中的轨道为半径等于R的圆上的13圆周，这段圆弧应与入射方向的速度，出射方向的速度相切，如图所示．则到入射方向所在直线和出射方向所在直线相距为R的O′点就是圆周的圆心．粒子在磁场区域中的轨道就是以O′为圆心、R为半径的圆上的圆弧ef，而e点和f点应在所求圆形磁场区域的边界上．在通过e、f两点的不同的圆周中，最小的一个是以ef连线为直径的圆周．即得圆形磁场区域的最小半径r＝Rsin60°＝3mv02qB则这个圆形磁场区域的最小面积Smin＝πr2＝34π(mv0qB)2.答案34π(mv0qB)2题型二带电粒子在磁场运动的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面．(1)带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成双解．(2)磁场方向不确定形成多解：有些题目只告诉了磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向，由磁场方向不确定而形成的双解．(3)临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场，可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图5所示，于是形成多解．(4)运动的重复性形成多解：带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，往往运动具有往复性，因而形成多解．图51．带电粒子性质的不确定形成多解例5如图6所示，直线边界MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场区域足够大．今有一质量为m，带电量为q的带电粒子，从边界MN上某点垂直磁场方向射入，射入时的速度大小为v，方向与边界MN的夹角为θ，求带电粒子在磁场中的运动时间．图6解析设带电粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，则有T＝2πmqB，若粒子带正电，其运动轨迹如图中的1所示，则运动时间为t1＝2π－2θ2πT＝2m(π－θ)qB；若粒子带负电，其运动轨迹如图中的2所示，则运动时间为t2＝2θ2πT＝2mθqB.答案若粒子带正电，则运动时间为2m(π－θ)qB，若粒子带负电，则运动时间为2mθqB2．磁场方向不确定形成多解例6某电子以固定的正点电荷为圆心在匀强磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面，电子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的3倍．若电子电荷量为e、质量为m，磁感应强度为B，不计重力，则电子运动的角速度可能是()A.4BemB.3BemC.2BemD.Bem解析设电子所受电场力为F，洛伦兹力为F′，若磁场方向垂直于纸面向外，则所受洛伦兹力指向圆心(如图甲所示)．由题意可知F＋F′＝mω2R，F′＝evB＝e(ωR)B，F＝3F′，联立以上三式得ω＝4Bem.若磁场方向垂直于纸面向里，则所受洛伦兹力背向圆心(如图乙所示)，则有F－F′＝mω2R，F′＝evB＝e(ωR)B，F＝3F′，联立三式解得：ω＝2Bem，故本题答案为A、C.答案AC3．运动方向不确定形成多解例7如图7所示，绝缘摆线长为L，摆球带正电(电荷量为q，质量为m)悬于O点，当它在磁感应强度为B的匀强磁场中来回摆动经过最低点C时速率为v，则摆线的拉力为多大？图7解析当摆球在最低点向右运动时，摆球受到的洛伦兹力的方向竖直向上,由牛顿第二定律得FT－mg＋qvB＝mv2L，则FT＝mg－qvB＋mv2L.当摆球在最低点向左运动时，摆球受洛伦兹力的方向竖直向下，由牛顿第二定律得FT－mg－qvB＝mv2L，则FT＝mg＋qvB＋mv2L.答案见解析答题技巧多解问题的审题正确解答多解问题的前提和关键是审题，只有细致、周密、准确的审题，才能体会出题目中条件的不确定因素，从而把题目定性为多解问题而进行讨论分析．审题时应克服习惯性思维或先入为主的思维模式，想当然地认为带电粒子就是带正电，粒子运动就是向一个方向运动，这样多解题就变成了单解题，答案不全面或解答错误．本题型的三个例题，就是从形成多解的三个不确定条件出发，讨论了形成多解的不同结果．随堂巩固训练1．在xOy平面内有许多电子(质量为m，电荷量为e),从坐标原点O不断以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限，如图8所示．现加上一个垂直于xOy平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于x轴向x轴正方向运动，试求出符合条件的磁场的最小面积．图8解析所有电子在所求的匀强磁场中均做匀速圆周运动，由ev0B＝mv02R，得半径为R＝mv0eB.设与x轴正向成α角入射的电子从坐标为(x，y)的P点射出磁场．则有x2＋(R－y)2＝R2①①式即为电子离开磁场的下边界b的表达式当α＝90°时，电子的运动轨迹为磁场的上边界a，其表达式为(R－x)2＋y2＝R2.②由①②式所确定的面积就是磁场的最小范围，如图所示，其面积为S＝2(πR24－R22)＝π－22(mv0eB)2.答案π－22(mv0eB)22．如图9所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边的中点O处，垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为l，重力影响不计．(1)试求粒子能从ab边上射出磁场的v0的大小范围；(2)问粒子在磁场中运动的最长时间是多少？图9解析(1)设带电粒子在磁场中正好经过ab边(相切)，从ad边射出所对应的速度为v1(如图所示)从几何关系R＋Rsin30°＝l2⇒R＝13l.由半径公式R＝mvqB，可得v1＝Bql3m设带电粒子在磁场中正好经过cd边(相切)，从ab边射出时的速度为v2，从几何关系可得R＝l(如图所示)由半径公式R＝mvqB，可得v2＝Bqlm可见带电粒子在磁场中从ab边射出，其速度应满足Bql3mv0Bqlm.(2)带电粒子在磁场中的周期T＝2πRv0＝2πmqB根据带电粒子在磁场的轨迹占圆周比值最大即运动时间最长(或圆周所对圆心角最大)，所以当速度为v1时，具有最长时间tmax＝θ2π·T＝53π2π·2πmqB＝5πm3qB.答案(1)Bql3mv0Bqlm(2)tmax＝5πm3qB3．两极板M、N相距为d，板长为3d，两极板都未带电，板间有垂直于纸面向外的匀强磁场，如图10所示，一群电子沿平行于极板的方向从各个位置以速度v射入板间．为了使电子都不从板间穿出，磁感应强度B的取值范围是多少？(设电子电荷量为e、质量为m)图10解析如图所示，电子射入磁场时所受洛伦兹力向上，都向上偏转，显然从下极板A点射入的电子最容易从右侧或左侧穿出，所以以该电子为研究对象，若半径足够大，恰好从上极板C点处射出，对应的半径为r1，由Rt△O1CD得r21＝(r1－d)2＋(3d)2，r1＝5d；若半径足够小，恰好从上极板D点处射出，对应的半径为r2，r2＝d2，由半径公式r＝mvBq，得B1＝mvr1q＝mv5de，B2＝2mvde.当电子的轨道半径的取值为r2rr1时，电子不会从板间穿出，根据半径公式可知磁感应强度越大，电子的轨道半径越小，所以磁感应强度B的范围是：B1BB2，即mv5deB2mvde.答案mv5deB2mvde返回