1.3.1 三角函数的周期性

三角函数的周期性今天是星期几？今年的平安夜是星期几?2007年的元旦是星期几?如果有一个函数称为h(x)＝week(x)，你认为这个函数有怎样的特征？前面我们还研究了三角函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx，正弦函数和余弦函数也有类似的特征吗？由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加（或减少）2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sinx，cos(2π＋x)＝cosx．正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性．若记f(x)＝sinx，则对于任意x∈R，都有f(x+2π)=f(x)．思考：如何用数学语言刻画函数的周期性？一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．周期函数的定义思考1：周期函数的图象具有什么特征？思考思考2：正弦函数、余弦函数除了2π以外还有其它的周期吗？易知2π是正弦函数和余弦函数的周期，且4π，6π，…以及－2π，－４π，…都是正弦函数和余弦函数的周期，即每一个常数2kπ(k∈Ｚ且k≠０)都是这两个函数的周期．思考思考3：一个周期函数的周期有多少个？1.若T为函数f(x)的一个周期，则kT（k≠0）也为f(x)的周期.2.对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．3.如果不加特别说明，周期一般都是指函数的最小正周期．思考思考4：观察单位圆中正弦线的变化，你能看出正弦函数的最小正周期吗？动画正弦函数的最小正周期是2π；余弦函数的最小正周期是2π．思考证明：假设T是正弦函数的周期,且0＜T＜2π,则对任意实数x都有:xTxsin)sin(令x=0,得0sinT即.,ZkkT从而对任意实数x都应有xxsin)sin(这与2sin)2sin(矛盾.因此,正弦函数没有比２π小的正周期.又0＜T＜2π,故T=π,探究1:证明正弦函数没有比2π小的正周期.探究探究2：函数f(x)=3是周期函数吗？有最小正周期吗？注意：周期函数不一定有最小正周期.探究探究3：观察正切线并回答：正切函数是否为周期函数？若是周期函数，其周期为多少？动画注：正切函数是最小正周期为π的周期函数.探究例1.若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示．(1)求该函数的周期；(2)求t=10s时钟摆的高度．解(1)由图象可知,该函数的周期为1.5ｓ．(2)设h=f(t)，由函数f(t)的周期为1.5s，可知f(10)=f(1+6×1.5)=f(1)=20,故t=10s时钟摆的高度为20mm．图象法求周期.运用例2.求下列函数的周期.(1)f(x)=cos2x；(2).12sin26gxx运用1.一般地，函数y=Asin(ωx＋φ)及y=Acos(ωx＋φ)（其中A，ω，φ为常数，且Ａ≠０，ω＞０）的周期为.2T=心得2.已知Ａ，ω，φ为常数，且A≠0，ω≠0，若函数y=f(x)的周期为T，则函数y=Af(ωx＋φ)的周期为.T||心得1.一个周期函数的周期有多少个?周期函数的图象具有什么特征?参考答案：无数个，重复性练习2.已知函数,使f(x)的周期在(2/3,4/3)内,则正整数k的最小值和最大值分别是多少?解：函数f(x)的最小正周期为，故，得，又k为正整数，故k的最小值为15，最大值为28.sin34kfxx6k624,33k992k练习3.判断下列说法是否正确,并简述理由：(1)时，,则一定不是函数y=sinx的周期；3x23正确(2)时，,则一定是函数y=sinx的周期．76x2sinsin3xx23不正确，因为在x=7π/6时成立,并不能保证对任意的x都有成立,如x=0时，就不成立.2sinsin3xx2sinsin3xx2sinsin3xx2sinsin3xx练习4.求下列函数的周期：(1)y=2cos3x；(2)．sin3xy23T6T5．若函数的最小正周期为，则正数k=．sin5fxkx233练习6.若弹簧振子对平衡位置的位移x(cm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示：（１）求该函数的周期；（２）求t＝10.5ｓ时弹簧振子对平衡位置的位移．⑴周期为4；⑵－8cm.练习1.周期函数的定义；2.周期的求法：⑴图象法；⑵定义法；⑶公式法.小结教材P45，习题1.31，10作业