数学答疑群问题汇总(第二期20160511)

数学答疑群问题总结(第二期)matyan数学黄皮书答疑群4943548382016年5月11日page2of212016年5月11日目录第一章概念题41.1递归数列的单调性与其对应函数的单调性的关系..............41.2函数的间断点..................................41.3|f(x)|的可导性.................................41.4洛必达法则使用的条件.............................51.5无穷小量的阶的比较..............................5第二章计算题72.1极限题......................................72.2求反函数....................................82.3分部积分....................................92.4反常积分....................................102.5伯努利方程...................................102.6欧拉方程....................................102.7拉格朗日乘数法.................................102.8二元函数全微分存在的充分必要条件.....................122.9二重积分的轮换对称性.............................132.10二重积分....................................132.11曲线积分....................................14第三章综合题163.1单调有界准则..................................163.2夹逼法则....................................163.3比较函数大小..................................173.4方程根的个数..................................183.5n阶泰勒展式的使用...............................193.6雨滴下落路径..................................203.7矩阵题......................................203page4of211.1递归数列的单调性与其对应函数的单调性的关系递归数列an+1=f(an)的单调性与函数f(x)的单调性有关.若f(x)在区间I上单调上升，且a1≤a2，则数列{an}单调上升；若f(x)在区间I单调下降，则数列{an}不具单调性.结论的前半部分较好理解.an≤an+1⇒f(an)≤f(an+1)⇒an+1≤an+2:由归纳法可知{an}单调上升.结论的后半部分.假设{an}单调上升，则an≤an+1，由f(x)单调下降可知，f(an)≥f(an+1)，也即an+1≥an+2，这与an单调上升矛盾.假设{an}单调下降，同理可推出矛盾.因此，数列{an}不具单调性.1.2函数的间断点f(x)=limn→∞1+x1+x2n，求f(x)的间断点.当|x|1时，limn→∞1+x1+x2n=0，因此，f(x)=0；当|x|1时，x2n→0，因此f(x)=1+x.当x=1时，f(x)=1，当x=−1时，f(x)=0.因此，f(x)仅在x=1处间断.1.3|f(x)|的可导性f(x)在x=a处连续，试讨论|f(x)|在x=a处可导与f(x)在x=a处可导的关系.若f(a)̸=0，则由极限的保号性，可知f(x)在x=a的小邻域内与f(a)同号，从而|f(x)|−|f(a)|=f(x)−f(a);f(a)0;f(a)−f(x);f(a)0，|f(x)|在x=a处可导等价于f(x)在x=a处可导，且它们的导数互为相反数.若f(a)=0，则同上面的论述，若f(x)在x=a的左右小邻域内同号，则|f(x)|在x=a处的可导性同样等价于f(x)在x=a处的可导性.当f(x)0时，它们的导数相同，当f(x)0时，它们的导数互为相反数.若f(x)在x=a的左右小邻域内异号，则当且仅当f′(a)=0时，|f(x)|在x=a处的可导性等价于f(x)在x=a处的可导性.考虑limx→a+|f(x)|x−a和limx→a−|f(x)|x−a，由于f(x)在点a左边和右边异号，故不妨假设x∈(a;a+)(0)时，f(x)0，从而limx→a+|f(x)|x−a=limx→a+f(x)x−a;limx→a−|f(x)|x−a=−limx→a−f(x)x−a:2016年5月11日第一章概念题page5of21若|f(x)|在x=a处可导，则limx→a+f(x)x−a=−limx→a−f(x)x−a;此时若f′+(a)和f′−(a)均存在，若f′(a)存在，则f′(a)=0.显然，由f′(a)=0也可推出|f(x)|在x=a处可导.例子:f(x)=x3在x=0处可导且|f(x)|在x=0处可导.g(x)=x在x=0处可导，但|x|在x=0处不可导.1.4洛必达法则使用的条件以limx→af(x)F(x)为00型为例.(1)x→a时，f(x);F(x)均→0.(2)点a的去心邻域内，f′(x);F′(x)都存在且F′(x)̸=0.(3)limx→af′(x)F′(x)存在(或为∞).条件(1)说明只能对未定式使用洛必达法则，必须为00型，而不是常规极限，例如，limx→01x=∞，这是对的，而如果对它使用洛必达法则，则会得到错误的答案：limx→01x洛必达=====01=0.对∞∞的条件可以适当放松一些，只要分母→∞即可，分子不一定也要→∞.条件(2)说明在使用洛必达法则时要注意分子、分母在求极限的点附近是否可导，并且分母不为零.对于有具体表达式的函数，这一点较容易注意到，而对于抽象函数，则需要注意题目条件，条件中未给出或所给条件无法得出相应的可导性时，不能使用洛必达法则.另外，对离散型函数不能直接使用洛必达法则，需将其连续化.条件(3)说明，有时候，limx→af(x)F(x)存在，但limx→af′(x)F′(x)不一定存在.例如，limx→0x2sin1xsinx=limx→0xsinxlimx→0sin1x1x=limx→0sin1x1x=0:但limx→0x2sin1xsinx洛必达=====limx→02xsin1x−cos1xcosx，极限不存在.1.5无穷小量的阶的比较f(x)=∫tanx0arctan(t2)dt，g(x)=x−sinx，试比较f(x)与g(x)作为无穷小量的阶.当x→0时，f(x)→0;g(x)→0，也即f(x);g(x)均为x→0时的无穷小量，可通过计算limx→0f(x)g(x)来比较它们的阶.2016年5月11日1.5.无穷小量的阶的比较page6of21令u=t2，则du=2tdt，dt=du2√u，∫tanx0arctan(t2)dt=∫tan2x0arctanu2√udu.limx→0f(x)g(x)=limx→0∫tan2x0arctanu2√udux−sinx=limx→0arctan(tan2x)2tanx·2tanx·sec2x1−cosx=limx→0arctan(tan2x)·sec2x1−cosxlimx→0sec2x=1=========limx→0arctan(tan2x)1−cosxarctanx=x+o(x);1−cosx∼x22===================limx→0tan2xx22tanx∼x======limx→0x2x22=2:因此，f(x)和g(x)是同阶但不等价的无穷小.2016年5月11日第二章计算题page7of212.1极限题1.计算limn→∞n2(arctann−arctann+1).2.计算limx→0∫2x0|t−x|sintdt|x3|..1.考虑函数arctanx，由拉格朗日中值定理可知，arctann−arctann+1=11+2n(n−n+1);其中n∈(n+1;n)，从而limn→∞n2(arctann−arctann+1)=limn→∞[n2·n(n+1)·11+2n]limn→∞n=0========limn→∞n2n(n+1)=:2.当x0时，∫2x0|t−x|sintdt=∫x0(x−t)sintdt+∫2xx(t−x)sintdt:limx→0+∫2x0jtxjsintdtjx3j=limx→0+x∫x0sintdt∫x0tsintdt+∫2xxtsintdtx∫2xxsintdtx3洛必达=====limx→0+∫x0sintdt+xsinxxsinx+2
2xsin2xxsinx∫2xxsintdtx(2sin2xsinx)3x2=limx→0+∫x0sintdt∫2xxsintdt+2xsin2x3x2=limx→0+12cosx+cos2x+2xsin2x3x2=limx→0+2cosx(cosx1)3x2+limx→0+2xsin2x3x2=23limx→0+12x2x2+43limx→0+sin2x2x=4313=1:当x0时，∫2x0|t−x|sintdt=∫x0(t−x)sintdt+∫2xx(x−t)sintdt:limx→0∫2x0jtxjsintdtjx3j=limx→0∫x0tsintdtx∫x0sintdt+x∫2xxsintdt∫2xxtsintdtx3洛必达=====limx→0xsinx∫x0sintdtxsinx+∫2xxsintdt+x(2sin2xsinx)2
2xsin2x+xsinx3x2=limx→0∫x0sintdt∫2xxsintdt+2xsin2x3x2=limx→012cosx+cos2x+2xsin2x3x2=limx→02cosx(cosx1)3x2+limx→02xsin2x3x2=23limx→012x2x2+43limx→0sin2x2x=4313=1:2016年5月11日2.2.求反函数page8of212.2求反函数设函数y=f(x)=√x2−x+1−√x2+x+1.(1)求此函数的自然定义域以及相应的值域.(2)求此函数的反函数以及反函数的定义域.解:(1)由x2−x+1=(x−12)2+34以及x2+x+1=(x+12)2+34可知，根号中的算式恒大于零，因此，函数的自然定义域为(−∞;+∞).下面求y的值域.y′=x−12√(x−12)2+34−x+12√(x+12)2+34:分情况讨论.1⃝当x12时，x−120;x+120，且x−12x+12，由g(u)=1√1+34u2的单调性易知y′=1√1+34(x−12)2−1√1+34(x+12)20:2⃝当−12x12时，x−120;x+120.y′=−1√1+34(x−12)2−1√1+34(x+12)2≤0;(等号当x=0时成立):3⃝当x−12时，x−120;x+120，且x−12x+12，由g(u)=1√1+34u2的单调性易知y′=−1√1+34(x−12)2+1√1+34(x+12)20:因此，在(−∞;+∞)上，y′≤0，且仅当x=0时y′=0，故y=f(x)在(−∞;+∞)上严格单调递减.分别计算limx→−∞f(x)和limx→+∞f(x).limx→−∞f(x)=limx→−∞−2x√x2−x+1+√x2+x+1=limx→−∞2√1−1x+1x2+√1+1x+1x2=1;limx→+∞f