高二数学选修2-1第三章空间向量与立体几 知识点+习题+答案

1空间向量与立体几何1、空间向量的概念：1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．3向量的大小称为向量的模（或长度），记作．4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a．6方向相同且模相等的向量称为相等向量．2、空间向量的加法和减法：1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线C就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作a，b，则ab．3、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算．当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0．a的长度是a的长度的倍．4、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：abab；结合律：aa．5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，0bb，//ab的充要条2件是存在实数，使ab．7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．8、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使xyC；或对空间任一定点，有xyC；或若四点，，，C共面，则1xyzCxyz．9、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为向量a，b的夹角，记作,ab．两个向量夹角的取值范围是：,0,ab．10、对于两个非零向量a和b，若,2ab，则向量a，b互相垂直，记作ab．11、已知两个非零向量a和b，则cos,abab称为a，b的数量积，记作ab．即cos,ababab．零向量与任何向量的数量积为0．12、ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影cos,bab的乘积．13、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有1cos,eaaeaae；20abab；3ababababab与同向与反向，2aaa，aaa；4cos,ababab；5abab．14、向量数乘积的运算律：1abba；2ababab；3abcacbc．15、若i，j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p，存在有序实数组,,xyz，使得pxiyjzk，称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的分量．16、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组,,xyz，使得pxaybzc．17、若三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是3,,,ppxaybzcxyzR．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，,,abc称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．18、设1e，2e，3e为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e，2e，3e的公共起点为原点，分别以1e，2e，3e的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz．则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量p．存在有序实数组,,xyz，使得123pxeyeze．把x，y，z称作向量p在单位正交基底1e，2e，3e下的坐标，记作,,pxyz．此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标,,xyz．19、设111,,axyz，222,,bxyz，则1121212,,abxxyyzz．2121212,,abxxyyzz．3111,,axyz．4121212abxxyyzz．5若a、b为非零向量，则12121200ababxxyyzz．6若0b，则121212//,,ababxxyyzz．7222111aaaxyz．8121212222222111222cos,xxyyzzabababxyzxyz．9111,,xyz，222,,xyz，则222212121dxxyyzz．20、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示．向量称为点的位置向量．21、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确定．点是直线l上一点，向量a表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点，有ta，这样点和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直4线l上的任意一点．22、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为a，b．为平面上任意一点，存在有序实数对,xy，使得xayb，这样点与向量a，b就确定了平面的位置．23、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量．24、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则////abababR，0ababab．25、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，则////aa0anan，//aaanan．26、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则////abab，0abab．27、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，则有coscosabab．28、设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l与n的夹角为，则有sincoslnln．29、设1n，2n是二面角l的两个面，的法向量，则向量1n，2n的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l的平面角为，则1212cosnnnn．30、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．31、在直线l上找一点，过定点且垂直于直线l的向量为n，则定点到直线l的距离为cos,ndnn．32、点是平面外一点，是平面内的一定点，n为平面的一个法向量，则点到平面的距离为cos,ndnn．5空间向量与立体几何练习题1一、选择题（每小题5分，共50分）1.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.若11BA=a，11DA=b，AA1=c，则下列向量中与MB1相等的向量是A.－21a+21b+cB.21a+21b+cC.21a－21b+cD.－21a－21b+c2.下列等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是A.OCOBOAOM23B.OCOBOAOM513121C.0OCOBOAOMD.0MCMBMA3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，则DCEF等于A.41B.41C.43D.434.若)2,,1(a，)1,1,2(b，a与b的夹角为060，则的值为A.17或-1B.-17或1C.-1D.15.设)2,1,1(OA，)8,2,3(OB，)0,1,0(OC，则线段AB的中点P到点C的距离为A.213B.253C.453D.4536.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥6A．①②B．①③C．①④D．②④7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A.9πB.10πC.11πD.12π8.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误．．的是A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为A.63B.552C.155D.10510.⊿ABC的三个顶点分别是)2,1,1(A，)2,6,5(B，)1,3,1(C，则AC边上的高BD长为A.5B.41C.4D.52二、填空题（每小题5分，共20分）11.设)3,4,(xa，),2,3(yb，且ba//，则xy.12.已知向量)1,1,0(a，)0,1,4(b，29ba且0，则=________.13.在直角坐标系xOy中，设A（-2，3），B（3，-2），沿x轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时112AB，则的大小为．14.如图，P—ABCD是正四棱锥，1111ABCDABCD是正方体，其中2,6ABPA，则1B到平面PAD的距离为.俯视图正(主)视图侧(左)视图23227三、解答题（共80分）15.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于600，M是PC的中点，设cbaAPADAB,,．（1）试用cba,,表示出向量BM；（2）求BM的长．16.（本小题满分14分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC，证明：'BC∥面EFG..224侧视图正视图624GEFC'B'D'CABDMPDCBA817.（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD中，CBCDADBD，，点EF，分别是ABBD，的中点．求证：（1）直线//EF面ACD；（2）平面EFC面BCD．18.（本小题满分14分）如图，已知点P在正方体''''DCBAABCD的对角线'BD上，∠PDA=60°.（1）求DP与'CC所成角的大小；（2）求DP与平面DDAA''所成角的大小.D'C'B'A'PDCBA9俯视图侧视图正视图121121EDCBAP19.（本小题满分14分）已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点．（1）求四棱锥P－ABCD的体积；（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论;（3）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小．20.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，60ABC，EF，分别是BCPC，的中点．（1）证明：AEPD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为62，求二面角EAFC的余弦值．PBECDFA10参考答案一、选择题1.)(21111BCBAAABMBBMB=c+21(－a+b)=－21a+21b+c，故选A.2.1),,(zyxRzyxOCzOByOAxOMCBAM且四点共面、、、由于MCMBMAMCMBMACBA0由于都不正确、、选项.)()()(共面使所以存在MCMBMAMCyMBxMAyx,,,1,1四点共