2019年北京市高考数学模拟试卷(理科)

第1页（共23页）2019年北京市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=√𝑥2−9}，则集合A∩（∁RB）=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．（0，1）2．（5分）以下说法正确的有（）（1）y=x+1𝑥（x∈R）最小值为2；（2）a2+b2≥2ab对a，b∈R恒成立；（3）a＞b＞0且c＞d＞0，则必有ac＞bd；（4）命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”；（5）实数x＞y是1𝑥＜1𝑦成立的充要条件；（6）设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∨￢q”也为假命题．A．2个B．3个C．4个D．5个3．（5分）若双曲线C：𝑥2𝑎2﹣𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆x2+y2﹣4x=0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（）A．2B．√3C．√2D．2√334．（5分）已知𝑎=2∫𝑥10𝑑𝑥，函数𝑓(𝑥)=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴＞0，𝜔＞0，|𝜑|＜𝜋2)的部分图象如图所示，则函数𝑓(𝑥−𝜋4)+𝑎图象的一个对称中心是（）A．(−𝜋12，1)B．(𝜋12，2)C．(7𝜋12，1)D．(3𝜋4，2)第2页（共23页）5．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，∠𝐵𝐴𝐷=𝜋3，AB=2，AD=1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足𝐵𝑀𝐵𝐶=𝑁𝐶𝐷𝐶=𝜆，其中λ∈[0，1]，则𝐴𝑀→⋅𝐴𝑁→的取值范围是（）A．[0，3]B．[1，4]C．[2，5]D．[1，7]6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．83B．163C．8D．3237．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A．0B．1C．2D．3第3页（共23页）8．（5分）已知函数f（x）={𝑥2−𝑥+3，𝑥≤1𝑥+2𝑥，𝑥＞1，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|𝑥2+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣4716，2]B．[﹣4716，3916]C．[﹣2√3，2]D．[﹣2√3，3916]二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知a是实数，i是虚数单位，若z=a2﹣1+（a+1）i是纯虚数，则a=．10．（5分）某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图（如图）．则罚球命中率较高的是．11．（5分）抛物线y2=ax（a≠0）的准线与x轴交于点P，直线l经过点P，且与抛物线有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是．12．（5分）若两曲线y=x2﹣1与y=alnx﹣1存在公切线，则正实数a的取值范围是．13．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S25＞0，S26＜0，则数列𝑆1𝑎1，𝑆2𝑎2，⋯，𝑆25𝑎25的最大项是第项．14．（5分）已知函数f（x）满足对任意的x∈R都有𝑓(12+𝑥)+𝑓(12−𝑥)=2成立，则𝑓(18)+𝑓(28)+⋯+𝑓(78)=．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2√3sin（ax﹣𝜋4）cos（ax﹣𝜋4）+2cos2（ax﹣𝜋4）（a＞0），且函数的最小正周期为𝜋2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，𝜋4]上的最大值和最小值．16．（13分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2√2，AD=√2，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；第4页（共23页）（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为2√55．17．（14分）诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周第二周第三周第四周第一个周期95%98%92%88%第二个周期94%94%83%80%第三个周期85%92%95%96%（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数𝑥；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．18．（13分）已知函数f（x）=ex+x2﹣x，g（x）=x2+ax+b，a，b∈R．（1）当a=1时，求函数F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（2）若曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线l与曲线y=g（x）切于点（1，c），求a，b，c的值；（3）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．19．（14分）设椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的离心率e=12，左焦点为F，右顶点为A，过点F的直线交椭圆于E，H两点，若直线EH垂直于x轴时，有|EH|=32（1）求椭圆的方程；第5页（共23页）（2）设直线l：x=﹣1上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为√62，求直线AP的方程．20．（13分）对于数列A：a1，a2，…，an，若满足ai∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0﹣1数列”．若存在一个正整数k（2≤k≤n﹣1），若数列{an}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{an}是“k阶可重复数列”，例如数列A：0，1，1，0，1，1，0．因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以数列{an}是“4阶可重复数列”．（Ⅰ）分别判断下列数列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；（Ⅱ）若项数为m的数列A一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；（III）假设数列A不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a4=1，求数列{an}的最后一项am的值．第6页（共23页）2019年北京市高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=√𝑥2−9}，则集合A∩（∁RB）=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．（0，1）【分析】先分别求出集合A和B，从而得到CRB，由此能求出集合A∩（∁RB）．【解答】解：∵集合A={x|0＜x≤3，x∈N}={1，2，3}，B={x|y=√𝑥2−9}={x|x≤﹣3或x≥3}，∴CRB={x|﹣3＜x＜3}，集合A∩（∁RB）={1，2}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．2．（5分）以下说法正确的有（）（1）y=x+1𝑥（x∈R）最小值为2；（2）a2+b2≥2ab对a，b∈R恒成立；（3）a＞b＞0且c＞d＞0，则必有ac＞bd；（4）命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”；（5）实数x＞y是1𝑥＜1𝑦成立的充要条件；（6）设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∨￢q”也为假命题．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】逐项判断即可．（1）当x＜0时易知结论错误；（2）作差即可判断；（3）根据两边都为正数的同向不等式的可乘性易得；（4）根据特称命题的否定形式即可判断；（5）取特殊值易得；（6）根据复合命题的真值易得．【解答】解：（1）当x＜0时函数𝑓(𝑥)=𝑥+1𝑥=−[(−𝑥)+1−𝑥]≤−2，无最小值，故（1）错误；第7页（共23页）（2）∵a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0对任意实数a，b都成立，∴a2+b2≥2ab对任意实数a，b恒成立，故（2）正确；（3）根据不等式的性质易知（3）正确；（4）根据特称命题的否定形式知，命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定应为“∀x∈R，x2+x+1＜0”，故（4）错误；（5）取x=1，y=﹣1满足x＞y，但1𝑥＞1𝑦，故（5）错误；（6）若p∨q为假命题，则p，q都为假命题，所以￢p，￢q都为真命题，所以￢p∨￢q为真命题，故（6）错误．综上可得正确命题为（2）（3）．故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件的判断、复合命题真假的判断以及不等式的相关知识．其中命题（1）容易出现错误，应用基本不等式应注意符号．属于易错题．3．（5分）若双曲线C：𝑥2𝑎2﹣𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆x2+y2﹣4x=0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（）A．2B．√3C．√2D．2√33【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：𝑥2𝑎2﹣𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆x2+y2﹣4x=0即为（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为2，双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣4x=0所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：√22−12=|2𝑏|√𝑎2+𝑏2，解得：4𝑐2−4𝑎2𝑐2=3，由e=𝑐𝑎，可得e2=4，即e=2．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应用，考查计算能力．4．（5分）已知𝑎=2∫10𝑥𝑑𝑥，函数𝑓(𝑥)=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴＞0，𝜔＞0，|𝜑|＜𝜋2)的部分图象第8页（共23页）如图所示，则函数𝑓(𝑥−𝜋4)+𝑎图象的一个对称中心是（）A．(−𝜋12，1)B．(𝜋12，2)C．(7𝜋12，1)D．(3𝜋4，2)【分析】利用定积分求出a的值，根据函数f（x）的图象求出f（x）的解析式，再利用三角函数的图象与性质求f（x﹣𝜋4）+a的对称中心．【解答】解：𝑎=2∫10𝑥𝑑𝑥=2×12x2|01=1，函数𝑓(𝑥)=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴＞0，𝜔＞0，|𝜑|＜𝜋2)的图象知，A=2，𝑇4=𝜋3﹣𝜋12=𝜋4，∴T=2𝜋𝜔=π，解得ω=2；又2×𝜋12+φ=𝜋2，解得φ=𝜋3；∴f（x）=2sin（2x+𝜋3），∴f（x﹣𝜋4）+a=2sin（2x﹣𝜋6）+1；令2x﹣𝜋6=kπ，k∈Z，则x=𝜋12+𝑘𝜋2，k∈Z，当k=1时，x=7𝜋12，∴f（x﹣𝜋4）+a的一个对称中心为（7𝜋12，1）．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了定积分的计算问题，是中档题．5．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，∠𝐵𝐴𝐷=𝜋3，AB=2，AD=1，若M、N分别是边BC、第9页（共23页）CD上的点，且满足𝐵𝑀𝐵𝐶=𝑁𝐶𝐷𝐶=𝜆，其中λ∈[0，1]，则𝐴𝑀→⋅𝐴𝑁→的取值范围是（）A．[0，3]B．[1，4]C．[2，5]D．[1，7]【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（12，√32）．∵𝐵𝑀𝐵𝐶=𝑁