2011年全国卷1高考理科数学试题含答案

2011年全国1卷数学理试题和答案第1页共10页2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)复数212ii的共轭复数是（）（A）35i（B）35i（C）i（D）i（2）下列函数中，既是偶函数又在+（0，）单调递增的函数是（）（A）3yx(B)1yx（C）21yx(D)2xy（3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）（A）120（B）720（C）1440（D）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34（5）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2yx上，则cos2=（）（A）45（B）35（C）35（D）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）2011年全国1卷数学理试题和答案第2页共10页（7）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）（A）2（B）3（C）2（D）3（8）512axxxx的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）（A）-40（B）-20（C）20（D）40（9）由曲线yx，直线2yx及y轴所围成的图形的面积为（）（A）103（B）4（C）163（D）6（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题（）12:10,3Pab22:1,3Pab3:10,3Pab4:1,3Pab其中的真命题是（）（A）14,PP（B）13,PP（C）23,PP（D）24,PP（11）设函数()sin()cos()(0,)2fxxx的最小正周期为，且()()fxfx，则（）（A）()fx在0,2单调递减（B）()fx在3,44单调递减（C）()fx在0,2单调递增（D）()fx在3,44单调递增(12)函数11-yx的图像与函数2sin(24)yxx的图像所有交点的横坐标之和等于（）（A）2(B)4(C)6(D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做2011年全国1卷数学理试题和答案第3页共10页答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）若变量,xy满足约束条件329,69,xyxy则2zxy的最小值为。（14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点12,FF在x轴上，离心率为22。过1F的直线L交C于,AB两点，且2ABFV的周长为16，那么C的方程为。（15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23ABBC,则棱锥OABCD的体积为。（16）在ABCV中，60,3BAC，则2ABBC的最大值为。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）等比数列na的各项均为正数，且212326231,9.aaaaa（Ⅰ)求数列na的通项公式；（Ⅱ）设31323loglog......log,nnbaaa求数列1nb的前n项和.(18)(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：2011年全国1卷数学理试题和答案第4页共10页（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满足//MBOAuuuruur，MAABMBBAuuuruuuruuuruur，M点的轨迹为曲线C。（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。（21）（本小题满分12分）已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy。（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当0x，且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围。请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合。已知AE的长为m、AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程2140xxmn的两个根。2011年全国1卷数学理试题和答案第5页共10页（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若90A，且4,6mn，求C，B，D，E所在圆的半径。(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为2cos22sinxy（为参数）M是C1上的动点，P点满足2OPOMuuuvuuuv,P点的轨迹为曲线C2(Ⅰ)求C2的方程(Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()3fxxax,其中0a。（Ⅰ）当1a时，求不等式()32fxx的解集；（Ⅱ）若不等式()0fx的解集为|1xx，求a的值。2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷参考答案一、选择题（1）C（2）B（3）B（4）A（5）B（6）D（7）B（8）D（9）C（10）A（11）A（12）D二、填空题（13）-6（14）221168xy（15）83（16）27三、解答题（17）解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由23269aaa得32349aa所以219q。由条件可知a0,故13q。由12231aa得12231aaq，所以113a。2011年全国1卷数学理试题和答案第6页共10页故数列{an}的通项式为an=13n。（Ⅱ）31323nloglog...lognbaaa(12...)(1)2nnn故12112()(1)1nbnnnn12111111112...2((1)()...())22311nnbbbnnn所以数列1{}nb的前n项和为21nn(18)解：（Ⅰ）因为60,2DABABAD,由余弦定理得3BDAD从而BD2+AD2=AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则1,0,0A,03,0B，,1,3,0C,0,0,1P。(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)ABPBBCuuuvuuvuuuv设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则0,0,nABnPBuuuruur即3030xyyz因此可取n=(3,1,3)设平面PBC的法向量为m，则m0,m0,PBBCuuruuur可取m=（0，-1，3）427cos,727mn故二面角A-PB-C的余弦值为2772011年全国1卷数学理试题和答案第7页共10页（19）解（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为228=0.3100，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90,94,94,102,102,110的频率分别为0.04，,054,0.42，因此P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,即X的分布列为X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68(20）解：(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MAuuur=（-x,-1-y）,MBuuur=(0,-3-y),ABuuur=(x,-2).再由题意可知（MAuuur+MBuuur）•ABuuur=0,即（-x,-4-2y）•(x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=14x2-2.(Ⅱ)设P(x0,y0)为曲线C：y=14x2-2上一点，因为y'=12x,所以l的斜率为12x0因此直线l的方程为0001()2yyxxx，即2000220xxyyx。则O点到l的距离20020|2|4yxdx.又200124yx，所以2020220014142(4)2,244xdxxx当20x=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.（21）解：（Ⅰ）221(ln)'()(1)xxbxfxxx2011年全国1卷数学理试题和答案第8页共10页由于直线230xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2ff即1,1,22bab解得1a，1b。（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln1f()1xxxx，所以22ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxfxxxxxx。考虑函数()2lnhxx2(1)(1)kxx(0)x，则22(1)(1)2'()kxxhxx。(i)设0k，由222(1)(1)'()kxxhxx知，当1x时，'()0hx。而(1)0h，故当(0,1)x时，()0hx，可得21()01hxx；当x（1，+）时，h（x）0，可得211xh（x）0从而当x0,且x1时，f（x）-（1lnxx+xk）0，即f（x）1lnxx+xk.（ii）设0k1.由于当x（1，k11）时，（k-1）（x2+1）+2x0,故'h(x）0,而h（1）=0，故当x（1，k11）时，h（x）0，可得211xh（x）0,与题设矛盾。（iii）设k1.此时'h（x）0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得211xh（x）0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0]（22）解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC,即ABAEACAD.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB所以C,B,D,E四点共圆。（Ⅱ）m=4,n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.2011年全国1卷数学理试题和答案第9页共10页故AD=2，AB=12.取CE的中点G