解析几何练习题及答案

1解析几何一、选择题1．已知两点A(－3，3)，B(3，－1)，则直线AB的斜率是()A.3B．－3C.33D．－33解析：斜率k＝－1－33－－3＝－33，故选D.答案：D2．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析：①当a＝0时，y＝2不合题意．②a≠0，x＝0时，y＝2＋a.y＝0时，x＝a＋2a，则a＋2a＝a＋2，得a＝1或a＝－2.故选D.答案：D3．两直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为()A．4B．21313C.51326D．71020解析：把3x＋y－3＝0转化为6x＋2y－6＝0，由两直线平行知m＝2，则d＝|1－－6|62＋22＝71020.故选D.答案：D4．(2014皖南八校联考)直线2x－y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－5＝0D．x＋2y－5＝0解析：由题意可知，直线2x－y＋1＝0与直线x＝1的交点为(1,3)，直线2x－y＋1＝02的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x－y＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0.故选C.答案：C5．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()A.π6，π3B．π6，π2C.π3，π2D．π3，π2解析：由题意，可作直线2x＋3y－6＝0的图象，如图所示，则直线与x轴、y轴交点分别为A(3,0)，B(0,2)，又直线l过定点(0，－3)，由题知直线l与线段AB相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线l的倾斜角的取值范围为π6，π2.故选B.答案：B6．(2014泰安一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()A．x－2y＋4＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0D．x－2y＋5＝0解析：直线2x＋y－5＝0的斜率为k＝－2，∴所求直线的斜率为k′＝12，∴方程为y－3＝12(x－2)，即x－2y＋4＝0.答案：A二、填空题7．过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为xa＋yb＝1，由a＋b＝6，2a＋1b＝1，解得a＝3b＝3或a＝4b＝2.故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.答案：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝038．(2014湘潭质检)若过点A(－2，m)，B(m,4)的直线与直线2x＋y＋2＝0平行，则m的值为________．解析：∵过点A，B的直线平行于直线2x＋y＋2＝0，∴kAB＝4－mm＋2＝－2，解得m＝－8.答案：－89．若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．解析：由直线PQ的倾斜角为钝角，可知其斜率k0，即2a－1＋a3－1－a0，化简得a－1a＋20，∴－2a1.答案：(－2,1)10．已知k∈R，则直线kx＋(1－k)y＋3＝0经过的定点坐标是________．解析：令k＝0，得y＋3＝0，令k＝1，得x＋3＝0.解方程组y＋3＝0，x＋3＝0，得x＝－3，y＝－3，所以定点坐标为(－3，－3)．答案：(－3，－3)三、解答题11．已知两直线l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2xsinα＋y＋1＝0，试求α的值，使(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.解：(1)法一当sinα＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.当sinα≠0时，k1＝－1sinα，k2＝－2sinα.要使l1∥l2，需－1sinα＝－2sinα，即sinα＝±22，∴α＝kπ±π4，k∈Z.故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.法二由l1∥l2，得2sin2α－1＝0，1＋sinα≠0，∴sinα＝±22，∴α＝kπ±π4，k∈Z.故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.4(2)∵l1⊥l2，∴2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0.∴α＝kπ，k∈Z.故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.12．设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．证明：(1)假设l1与l2不相交，则l1∥l2即k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k21＋2＝0，这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．(2)法一由方程组y＝k1x＋1，y＝k2x－1解得交点P的坐标为2k2－k1，k2＋k1k2－k1，而2x2＋y2＝22k2－k12＋k2＋k1k2－k12＝8＋k22＋k21＋2k1k2k22＋k21－2k1k2＝k21＋k22＋4k21＋k22＋4＝1.即P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．即l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．法二交点P的坐标(x，y)满足y－1＝k1x，y＋1＝k2x，故知x≠0.从而k1＝y－1x，k2＝y＋1x.代入k1k2＋2＝0，得y－1x·y＋1x＋2＝0，整理后，得2x2＋y2＝1.所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上．第八篇第2节一、选择题1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝15解析：由题意，设圆心(0，t)，则12＋t－22＝1，得t＝2，所以圆的方程为x2＋(y－2)2＝1，故选A.答案：A2．(2014郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()A．x2＋y2＝32B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16D．x2＋(y－1)2＝16解析：设P(x，y)，则由题意可得2x－22＋y2＝x－82＋y2，化简整理得x2＋y2＝16，故选B.答案：B3．(2012年高考陕西卷)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则()A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能解析：x2＋y2－4x＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P(3,0)到圆心的距离为d＝3－22＋0－02＝12，点P(3,0)恒在圆内，过点P(3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考辽宁卷)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C符合，故选C.答案：C5．(2013年高考广东卷)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x＋y－2＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋2＝0解析：与直线y＝x＋1垂直的直线方程可设为x＋y＋b＝0，由x＋y＋b＝0与圆x2＋y2＝1相切，可得|b|12＋12＝1，故b＝±2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b＝－2，则直线方程为x＋y－2＝0.故选A.答案：A66．(2012年高考福建卷)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长度等于()A．25B．23C.3D．1解析：因为圆心到直线x＋3y－2＝0的距离d＝|0＋3×0－2|12＋32＝1，半径r＝2，所以弦长|AB|＝222－12＝23.故选B.答案：B二、填空题7．(2013年高考浙江卷)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，∴弦长为2×25－5＝220＝45.答案：458．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为________．解析：因为圆C的圆心(1,1)到直线l的距离为d＝|1－1＋4|12＋－12＝22，又圆半径r＝2.所以圆C上各点到直线l的距离的最小值为d－r＝2.答案：29．已知圆C的圆心在直线3x－y＝0上，半径为1且与直线4x－3y＝0相切，则圆C的标准方程是________．解析：∵圆C的圆心在直线3x－y＝0上，∴设圆心C(m,3m)．又圆C的半径为1，且与4x－3y＝0相切，∴|4m－9m|5＝1，7∴m＝±1，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1或(x＋1)2＋(y＋3)2＝1.答案：(x－1)2＋(y－3)2＝1或(x＋1)2＋(y＋3)2＝110．圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l：x＋y－3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x2＋(y－1)2＝1.答案：x2＋(y－1)2＝1三、解答题11．已知圆C：x2＋(y－2)2＝5，直线l：mx－y＋1＝0.(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；(2)若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程．(1)证明：法一直线方程与圆的方程联立，消去y得(m2＋1)x2－2mx－4＝0，∵Δ＝4m2＋16(m2＋1)＝20m2＋160，∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点．法二直线l：mx－y＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C：x2＋(y－2)2＝5内部，∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点．(2)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，由方程(m2＋1)x2－2mx－4＝0，得x1＋x2＝2mm2＋1，∴x＝mm2＋1.当x＝0时m＝0，点M(0,1)，当x≠0时，由mx－y＋1＝0，得m＝y－1x，代入x＝mm2＋1，得xy－1x2＋1＝y－1x，化简得x2＋y－322＝14.经验证(0,1)也符合，∴弦AB的中点M的轨迹方程为x2＋y－322＝14.12．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝22时，求直线l的方程．8解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有|4＋2a|a2＋1＝2.解得a＝－34.(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得|CD|＝|4＋2a|a2＋1，|CD|2＋|DA|2＝22，|DA|＝12|AB|＝2，解得a＝－7，或a＝－1.故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.第八篇第3节一、选择题1．设P是椭圆x225＋y216＝1上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10解析：由方程知a＝5，根据椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.故选D.答案：D2．(2014唐山二模)P为椭圆x24＋y23＝1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，则PF1→·PF2→等于()A．3B．3C．23D．2解析：由椭圆方程知a＝2，b＝3，c＝1，∴|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－4＝2|PF1||PF2|cos