电磁场与电磁波基础教程习题解

1《电磁场与电磁波基础教程》（符果行编著）习题解答第1章1.1解：（1）2222212314xyzAAAA，24117B，225229C；（2）11123452141729AxyzByzCxz，，；Aaaaaa-aaaaaA（3）22+2431221(2)(2)3xyzxyz，=；ABaaaaaaAB（4）23411xyzyz；ABaaaaa（5）234104xyzyzxyz；ABaaaaaaaa（6）1045242xyzxz；ABCaaaaa（7）x2104522405xyzxzyABCaaaaaaaa。1.2解：12cos68.561078，；ABABA在B上的投影12cos141.371078BAA；B在A上的投影12cos673.211078ABB。1.3解：4264280正交AB。1.4解：1110xxyyzzxyyzzy，，；；aaaaaaaaaaaa0xxyyzz；aaaaaaxyzyzxzxy；，aaaaaaaaa。1.5解：（1）111000zzzz，，；，，aaaaaaaaaaaa；000zzzzz，，；，，aaaaaaaaaaaaaaa。2（2）111000rrrr，，；，，aaaaaaaaaaaa；000rrrrr，，；，，aaaaaaaaaaaaaaa。1.6解：22223xyzxzzyxyzyzxyzaaaaaa在点（2，-1，1）处2-1133xyzll，，；AaaaaA11332233xyzxyzaaaaaa。1.7解：221214xyzxyzxyzyzxyz，，，aaaaaaaaa。1.8解：1113xyzxyzr。1.9解：对zzraa取散度，13zzr，对rrra取散度，2213rrrrr，看出对同一位置矢量r取散度不论选取什么坐标系都应得同一值，坐标系的选取只是表示形式不同而已。1.10解：1100zcccz-1，=BaaB，由亥姆霍兹定理判定这是载流源在无源区(0)GJ产生的无散场。1.11解：1100zccz，EaaE，由亥姆霍兹定理判定这是电荷源在无源区0gq产生的无旋场；将0E与恒等式()0u对比，可知E与±u等效，令标量位u得E。1.12解：F满足无旋场的条件为0F，在直角坐标系中表示为032xzxyzyazbxzcyzyaaa解得a=0，b=3和c=2。31.13解：2220xyxyxy，F2222224xyzzxyxyxyxyyzzxyFaaaa由亥姆霍兹定理判定知，这是属于第三类的无散有旋场。1.14解：取2222221111:00sinrCCccrrrrrrrrr，=FaFFaa，属于第一类的无散无旋场，由无旋性可以引入标量位的梯度来表示；取2221rcccrrrrrr:，FaF1110sinrccrrrrFaa，属于第二类的有散无旋场，由无旋性可以引入标量位的梯度来表示；取1:0sinccrrr，FaF111sinsinrcccrrrrrrrrrrFaaa2cotrcra，属于第三类的无散有旋场。4第2章2.1解：q3受到q1和q2的作用力应当等值反向，所以3q应位于1q和2q的连线上某点处。由库仑定律和1323FF，可写为1132312222132313232qqqqqqKKrrrr，故23131.41rr；又13131.41rrx解得130.4152.41xrx。2.2解：在图中z轴上线元dz处电荷元dlz可视为点电荷，它与场点P的距离为R，由库仑定律知，离导线为处场点P的电场强度为对20ddcos4lzER在22，范围内对取积分。由图可知secR，tanz和2dsecdz，得0cosdd4lE2200cosd42llE，02lEa。2.3解：圆环上线元dl处电荷元dd2lqqa可视为点电荷，它与圆环轴线上场点P的距离为22Raz，由轴对称性知场点P的电场强度只有z分量，由库仑定律知3222200d1ddcos442zqqlzERaaz由图知式中为dE与dzE的夹角。对圆环取积分得332222220011,44zzqzqzEazaz故Ea圆环面中心点处0z知0E，这是由于具有轴对称的电场强度不仅其径向分量等值反向，相互抵消，且在0z处无轴向分量。zdz′z′RPEozdEzdEdEPRzaodl52.4解：利用习题2.3的结果进行计算。取盘上半径为，宽度为d的圆环，环上电荷密度为dlS。该圆环在轴上点P产生的电场，由于对称性，分量相互抵消为零，只有z分量32220dd2SzzEz对整个圆面积分31102222222220000d11222aaSSSzzEzazz故1222012SzzazEa。若S保持不变，当0a时，有0E；当a时，有a，有02SE。2.5解：对于球对称分布，应用高斯定理001ddSSqSÑES在区域r＜a:100S，E；在区域a＜r＜b:22210144SrEa，21220SrarEa；在区域r＞b:22231201444SSrEab，22312201rSSabrEa。2.6解：对于柱对称分布，应用高斯定理01ddSSSESÑS在区域＜1:00Sa，E；在区域a＜＜112002:2SSaabEaa；在区域＞12123002:2SSSSababbEaa。62.7解：对于无限大面电荷分布，其电场垂直于无限大平面，具有面对称分布，应用高斯定理时可跨平面作矩形盒高斯面，得0SzzSEES在区域z＞0：02SzEa；在区域z＜0：02SzEa。2.8解：两无限长电流的磁场分布分别具有轴对称分布，应用安培环路定理和叠加原理，得在y=-a处，12zIaHa；在y=a处，22xIaHa。故在坐标原点处00122zxIaBHHaa。2.9解：对于轴对称分布，应用安培环路定理0dSIÑBl在区域＜1:0aB；在区域a≤≤2222:SIbIJaba，2202222IabaBa；在区域＞03:2IbBa。2.10解：已知sinmBtBa和nabSa，磁通为1dsindsincosdsin22mnmmSSSBtSBttSabBtBSaa由法拉第电磁感应定律知1sin2cos22inmmabBtabBttt当线圈增至N匝时，磁通增至N倍，有cos2inmNabBt。7第3章3.1解：电荷元dd2lqqa在圆环轴线上场点P的电位为12200212202d1d1d44214qqlRaazqaz故33222222001d44zzzqzqzazazEaaa。3.2解：先假设双线传输线为有限长度2L，导线与z轴重合，其中点在原点处。其中一根导线上所有电流元产生的矢量磁位都与z轴方向一致，可知1222122000211222222dlnln444LLzzzLLLLIIIzzzzLLAaaa式中1222xy。当L时，利用二项式定理111nn=可知12122221LLl1LLL。上式近似写为200lnln42zzIILLAaa。现将平行于z轴的双线传输线分置于dxz处，可知在xy平面上两电流元离场点的距离为2212dxy和2222dxy。利用叠加原理可得2200021221212lnlnlnln222zzzdxyIIILLzdxyzAAAaaa。83.3解：对于球对称分布，可由高斯定理求E和D，再由位场关系求，而求P的公式为001rPDEE。在区域r＞11200:44rqqbrr，Ea，101204rqr1，DEaP；在区域a≤r≤2220:44rrrqqbrr，Eaa2221144zrrrqqrr，，DaPa2121201111dd=d=144brrrrrbbbrrqqErErrrbr；在区域r＜33220:044rrqqarr，，EaDaP，323drraraEr011111114rrqbar。3.4解：对于轴对称分布，可应用安培环路定理求磁场。通过导磁圆柱的稳恒电流为均匀分布，其体电流密度为2zIbJa在区域＜22:2IbHJSb，22Ib，Ha2()2πIbBHa0BMaH2012Ib，a200112zzSbzIIMJbb，1JMaaMaa；在区域＞0:22IIb，HaBa。看出上述解与例3.4中令0a的结果一致。当b时，，，JJH和0B，这是因为有限源分布在无限大空间，对空间中任一点几乎不存在源，自然没有源产生场。93.5解：（1）两极板上面电荷密度均为SQS。设带Q和Q的极板分别置于yd和