随机变量的分布函数

3.1随机变量的分布函数一、分布函数的概念定义:设X是随机变量，对任意实数x，事件{Xx}的概率P{Xx}称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即F(x)＝P{Xx}.易知，对任意实数a,b(ab),P{aXb}＝P{Xb}－P{Xa}＝F(b)－F(a).二、分布函数的性质1、单调不减性：若x1x2,则F(x1)F(x2);2、归一性：对任意实数x，0F(x)1，且;1)x(Flim)(F,0)x(Flim)(Fxx).()0(xFxF3、左连续性：对任意实数x，一般地，对离散型随机变量X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函数为xxkkkpxXPxF:}{)(例1：设随机变量X具分布律如右表解：)(xFx0112}{)(xXPxF＝X012P0.10.60.3试求出X的分布函数。2,121,7.010,1.00,0xxxx＝四、离散型随机变量的分布函数例1：向[a,b]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在[a,b]区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数解：3.2连续型随机变量1.定义:对于随机变量X，若存在非负函数p(x)，(-x+)，使对任意实数x，都有xduupxXPxF)()()(＝＝则称X为连续型随机变量，p(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为X～p(x),(-x+)一、概率密度2.密度函数的性质(1)非负性:p(x)0，(-x)；(2)归一性:.1)(＝dxxp性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；xaexp)(例1：设随机变量X的概率密度为求常数a.答:21a的几何意义＝baduupbXaP)()(（3）(4)若x是p(x)的连续点，则)()(xpdxxdF例2：设随机变量X的分布函数为求p(x)0211021)(xexexFxx（5）对任意实数b，若X～p(x)，(-x)，则P{X=b}＝0。于是badxxfbXaPbXaPbXaP)(}{}{}{＝＝＝例3.已知随机变量X的概率密度为1)求X的分布函数F(x),2)求P{X(0.5,1.5)}其他021210)(xxxxxp二、几个常用的连续型分布1.均匀分布若X～p(x)＝，其它0bxa,ab1。。0ababcddxabdxxpdXcPdcdc＝＝＝1)(}{)(xpx则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作X~U(a,b)对任意实数c,d(acdb)，都有例4.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率例5：设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程有实根的概率。02442KKxx2.指数分布若X～0,00,)(xxexpx＝则称X服从参数为0的指数分布。其分布函数为)(xpx00,00,1)(xxexFx＝例6.电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布.(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？解:例7:某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t的普哇松分布，求T的概率密度。xexpXx,21)(~222)(其中为实数，0，则称X服从参数为,的正态分布,记为N(,2)，可表为X～N(,2).（1）若随机变量3.正态分布1)单峰对称密度曲线关于直线x=对称；p()＝maxp(x)＝.21（1）正态分布有两个特性：2)的大小直接影响概率的分布越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻，。正态分布也称为高斯(Gauss)分布4.标准正态分布(1)参数＝0，＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0,1)。.,21)(22xexx分布函数表示为xdtexXPxxt,}{)(2212其密度函数表示为(2)一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。(P504附表3)如，若Z~N（0，1）,（0.5)=0.6915,P{1.32Z2.43}=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066(3)(x)＝1－(－x)；（4）若X～，则～N（0，1）。),(2NXY推论：若X～，则)()()(xxXPxF),(2N例1.设随机变量X~N(-1,22),求P{-2.45X2.45}=?例2.设XN(,2),求P{-3X+3}本题结果称为3原则.在工程应用中，通常认为P{|X-|≤3}≈1，忽略{|X-|3}的值.例3.一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.1、定义：设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R2,则称F(x,y)=P{Xx,Yy}为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。一、联合分布函数00,yx00,,,yyxxyx几何意义：分布函数F()表示随机点(X,Y)落在区域中的概率。如图阴影部分：3.3二维随机变量及其分布对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1x2，y1y2),则P{x1Xx2，y1yy2}＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1).(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)2、分布函数F(x,y)具有如下性质：0),(lim),(yxFFyx1),(lim),(yxFFyx且0),(lim),(yxFyFx0),(lim),(yxFxFy(1)归一性对任意(x,y)R2,0F(x,y)1,(2)单调不减对任意yR,当x1x2时，F(x1,y)F(x2,y)；对任意xR,当y1y2时，F(x,y1)F(x,y2)。);,(),(lim),0(0000yxFyxFyxFRxRyxx，对任意).,(),(lim)0,(000yxFyxFyxFyy(3)左连续对任意xR,y0R,(4)矩形不等式对于任意(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1x2，y1y2),F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0.反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为)]3()][2([),(yarctgCxarctgBAyxF1)求常数A，B，C。2)求P{0X2,0Y3}FY(y)＝F(+,y)＝＝P{Yy}称为二维随机变量(X,Y)关于Y的边际分布函数.)y,x(Flimy)y,x(FlimxFX(x)＝F(x,+)＝＝P{Xx}称为二维随机变量(X,Y)关于X的边际分布函数；3、边际分布函数其它00101),(xyyeeyxxeeyxFyyyx求FX(x)与FY(y)。例2.已知(X,Y)的分布函数为1、定义对于二维随机变量(X,Y)，若存在一个非负可积函数P(x,y)，使对(x,y)R2，其分布函数xydudvvupyxF,),(),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量，P(x,y)为(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为(X,Y)～P(x,y)，(x,y)R2二、二维连续型随机变量及其密度函数(1)非负性：P(x,y)0,(x,y)R2;(2)归一性：－－;1),(dxdyyxP);,(),(2yxPyxyxF反之，具有以上两个性质的二元函数P(x,y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。此外,P(x,y)还有下述性质(3)若P(x,y)在(x,y)R2处连续，则有2、联合密度f(x,y)的性质(p120)GdxdyyxpGYXP.),(}),{((4)对于任意平面区域GR2,例3：设othersyxyxpYX010,101),(~),(求:P{XY}求：(1)常数A；(2)F(1,1)；(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2X+3y6内的概率。其它,00,0,),(~),()32(yxAeyxpYXyx例4.设为(X,Y)关于Y的边际密度函数。dyyxpxpX),()(dxyxpypY),()(设(X,Y)～P(x,y),(x,y)R2,则称(p121)为(X,Y)关于X的边际密度函数；同理，称3、边际密度函数),()()(YxXPxXPxFXxdudvvup),(xdudvvup]),([dvvxpxpX),()(说明：othersxyxcyxP0),(2（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度例3.设(X,Y)的概率密度为(1)二维均匀分布若二维随机变量(X,Y)的密度函数为则称(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布。其它，的面积,0),(1),(2RDyxDyxPDGSSGYXP}},{(易见，若（X，Y）在区域D上(内)服从均匀分布，对D内任意区域G，有4.两个常用的二维连续型分布其中，1、2为实数，10、20、||1，则称(X,Y)服从参数为1,2,1,2,的二维正态分布，可记为),,,,(~),(222121NYX(2)二维正态分布若二维随机变量(X,Y)的密度函数为,121),(])())((2)([)1(212212222212121212yyxxeyxP结论：N(1,2,12,22,)的边际密度函数PX(x)是N(1,12)的密度函数，而PY(Y)是N(2,22)的密度函数。故二维正态分布的边际分布也是正态分布。定义1：称随机变量X与Y独立，如果对任意实数ab,cd，有p{aXb,cYd}=p{aXb}p{cYd}即事件{aXb}与事件{cYd}独立，则称随机变量X与Y独立。定义2：称随机变量X与Y独立的，如果F(x,y)=FX(x)FY(y)其中F(x,y)是（X，Y）的联合分布函数，FX(x)、FY(y)分别是X、Y的分布函数。三、随机变量的相互独立性定理(p127):设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是，P(x,y)=PX(x)PY(y)定理（复习）:设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pij=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j，Pij=PiPj。独立性的例子例：书中（P122）例3.7的两个随机变量是否独立？例：设(X,Y)～N(1,2,12,22,)，则X与Y独立充要条件为=0。§3.4随机变量函数的分布1、一般方法(p56)若X～p(x),-x+,Y=g(X)为随机变量X的函数，则可先求Y的分布函数FY(y)＝P{Yy}＝P{g(X)y}＝yxgdxxp)()(dyydFypYY)()(然后再求Y的密度函数此法也叫“分布函数法”一、一维连续型随机变量函数的密度函数例1.设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。