2018-2019学年高二数学(必修2)期中考试-含答案

12018-2019学年高二数学(必修2)期中考试考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．在直角坐标系中，已知A(－1，2)，B(3，0)，那么线段AB中点的坐标为()．A．(2，2)B．(1，1)C．(－2，－2)D．(－1，－1)2．右面三视图所表示的几何体是()．A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥3．如果直线x＋2y－1＝0和y＝kx互相平行，则实数k的值为()．A．2B．21C．－2D．－214．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为()．A．1B．2C．3D．45．下面图形中是正方体展开图的是()．ABCD(第5题)6．圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的圆心坐标是()．A．(－2，4)B．(2，－4)C．(－1，2)D．(1，2)7．直线y＝2x＋1关于y轴对称的直线方程为()．A．y＝－2x＋1B．y＝2x－1正视图侧视图俯视图(第2题)2C．y＝－2x－1D．y＝－x－1．在空间中，a，b是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列条件中可推出a∥b的是()．A．a，b，∥B．a∥，bC．a⊥，b⊥D．a⊥，b9．圆x2＋y2＝1和圆x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系是()．A．外切B．内切C．外离D．内含10．圆(x－1)2＋(y－1)2＝2被x轴截得的弦长等于()．A．1B．23C．2D．311．如图，三棱柱A1B1C1—ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是()．A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面A1B1BAC．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E12．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4cm，高为12cm．现要为100个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计)．如果每0.5kg涂料可以涂1m2，那么为这批笔筒涂色约需涂料．A．1.23kgB．1.76kgC．2.46kgD．3.52kgA1B1C1ABEC(第11题)3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．坐标原点到直线4x＋3y－12＝0的距离为．14．以点A(2，0)为圆心，且经过点B(－1，1)的圆的方程是．15．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱锥A1——ABCD的体积与长方体的体积之比为_______________．16．在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_______________________________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分)已知直线l经过点(0，－2)，其倾斜角是60°．(1)求直线l的方程；(2)求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．18．（12分）如图，在三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．(1)求证：DE∥平面PAC；(2)求证：AB⊥PB；(3)若PC＝BC，求二面角P—AB—C的大小．ABCDD1C1B1A1(第15题)ACPBDE(第18题)419.（12分）在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，设E是棱1CC的中点.（1）求证：BDAE；（2）．求三棱锥1ABDE的体积.20.（12分）如图，已知直线1:40lxy，直线2:10lxy以及2l上一点(3,2)P．求圆心在1l上且与直线2l相切于点P的圆的方程．21（12分）．已知圆22:68210Cxyxy和直线:430lkxyk．⑴证明：不论k取何值，直线l和圆C总相交；⑵当k取何值时，圆C被直线l截得的弦长最短？并求最短的弦的长度．22．（12分）已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x＋3y－29＝0相切．(1)求圆C的方程；(2)设直线ax－y＋5＝0与圆C相交于A，B两点，求实数a的取值范围；(3)在(2)的条件下，是否存在实数a，使得过点P(－2，4)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．(第19题)562018-2019学年高二数学(必修2)期中考试文科数学答题卡一、选择题二、填空题三、解答题总分一、选择题（12个小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案二、填空题（4个小题，每小题5分，共20分）13.14.15.16.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本小题满分10分）718.（本小题满分12分）19.（本小题满分12分）ACPBDE(第18题)(第19题)820.（本小题满分10分）21.（本小题满分12分）922.(本小题满分12分)10参考答案一、选择题1．B2．D3．D4．C5．A6．D7．A8．C9．A10．C11．C12．D二、填空题13．512．14．(x－2)2＋y2＝10．15．1:3．16．到四个面的距离之和为定值．三、解答题17．解：(1)因为直线l的倾斜角的大小为60°,故其斜率为tan60°＝3，又直线l经过点(0，－2)，所以其方程为3x－y－2＝0．(2)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是32，－2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S＝21·32·2＝332．18．(1)证明：因为D，E分别是AB，PB的中点，所以DE∥PA．因为PA平面PAC，且DE平面PAC，所以DE∥平面PAC．(2)因为PC⊥平面ABC，且AB平面ABC，所以AB⊥PC．又因为AB⊥BC，且PC∩BC＝C．所以AB⊥平面PBC．又因为PB平面PBC，所以AB⊥PB．(3)由(2)知，PB⊥AB，BC⊥AB，所以，∠PBC为二面角P—AB—C的平面角．因为PC＝BC，∠PCB＝90°，ACPBDE(第18题)11所以∠PBC＝45°，所以二面角P—AB—C的大小为45°．19．（1)【证明】连接BD，AE.因四边形ABCD为正方形，故BDAC，因EC底面ABCD，BD面ABCD，故ECBD，又ECACC，故BD平面AEC，AE平面AEC，故BDAE.（2）.由⑵知，点A到平面1BDE的距离等于C到平面1BDE的距离，故三棱锥1ABDE的体积11ABDECBDEVV，而11111121223323CBDEDBCEBCEVVSDC，三棱锥1ABDE的体积为23.20.【解】设圆心为(,)Cab，半径为r，依题意，4ba.设直线2l的斜率21k，过,PC两点的直线斜率PCk，因2PCl，故21PCkk，∴2(4)13PCaka，解得1,4ab.||22rPC.，所求圆的方程为222(1)(4)(22)xy.21．⑴.方法一：圆C的方程可化为：222(3)(4)2xy，圆心为(3,4)C，半径2r.直线l的方程可化为：(4)3ykx，直线过定点(4,3)P，斜率为k.定点(4,3)P到圆心(3,4)C的距离22(43)(34)2dr，∴定点(4,3)P在圆C内部，∴不论k取何值，直线l和圆C总相交.方法二：圆C的方程可化为：222(3)(4)2xy，圆心为(3,4)C，半径2r.圆心(3,4)C到直线:430lkxyk的距离2|1|1kdk，2222122111kkkdkk，因221210kkk≥，212kk≥，2211kk≥，12故22221241kdrdrk≤，，∴不论k取何值，直线l和圆C总相交.⑵.圆心(3,4)C到直线:430lkxyk的距离2|1|1kdkC被直线l截得的弦长＝222222411krdk，当0k时，弦长23；当0k时，弦长2231kk，下面考虑先求函数1ykk的值域.由函数知识可以证明：函数在(1)，上单调递增，在(10)，上单调递减，在(01)，上单调递减，在(1)，上单调递增（证明略），故当0k时，函数在1k处取得最大值－2；当0k时，函数在1k处取得最小值2.即12kk≥或12kk≤，故11012kk≤或11012kk≤，可得2101kk≤或2011kk-≤，即2111kk≤≤且201kk，22341kk≤≤且2331kk，2222341kk≤≤且223231kk.综上，当1k时，弦长取得最小值22；当1k时，弦长取得最大值4.22．解：(1)设圆心为M(m，0)(m∈Z)．由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，所以，5294m＝5，即|4m－29|＝25．因为m为整数，故m＝1．故所求的圆的方程是(x－1)2＋y2＝25．(2)直线ax－y＋5＝0即y＝ax＋5．代入圆的方程，消去y整理，得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0．由于直线ax－y＋5＝0交圆于A，B两点，故△＝4(5a－1)2－4(a2＋1)＞0，即12a2－5a＞0，解得a＜0，或a＞125．13所以实数a的取值范围是(－∞，0)∪(125，＋∞)．(3)设符合条件的实数a存在，由(2)得a≠0，则直线l的斜率为－a1，l的方程为y＝－a1(x＋2)＋4，即x＋ay＋2－4a＝0．由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1，0)必在l上．所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝43．由于43∈(125，＋∞)，故存在实数a＝43，使得过点P(－2，4)的直线l垂直平分弦AB．