3.1空间向量及其运算

𝟑.𝟏空间向量及其运算四川省巴中中学李小平𝟑.𝟏.𝟏空间向量及其加减运算第一课时⒉平面向量运算（1）向量的加法:平行四边形法则,三角形法则（2）向量的减法1、相关概念:向量,模,零向量,单位向量,相等（反）向量,共线向量复习请你根据下列提示复习平面向量相关知识𝑶𝑨𝑶𝑶𝑨𝑨𝑩𝑩𝑩𝒂𝒃𝒂𝒂𝒂𝒃𝒃𝒃𝑪𝒂+𝒃𝒂+𝒃𝒂−𝒃(3)实数与向量的积的运算律：设𝒂，𝒃为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μ𝒂)=(λμ)𝒂②(λ+μ)𝒂=λ𝒂+μ𝒂③λ(𝒂+𝒃)=λ𝒂+λ𝒃特别地,有:(−𝝀)𝒂=−𝝀𝒂=𝝀(−𝒂)𝝀𝒂−𝒃=𝝀𝒂−𝝀𝒃3.平面向量坐标运算（4）向量的数量积已知非零向量𝒂,𝒃,它们的夹角是θ,则数量𝒂𝒃cos𝜽叫做𝒂与𝒃的数量积(或内积)记作𝒂∙𝒃,即有𝒂∙𝒃=𝒂𝒃cos𝜽𝒂∙𝒃=𝒙𝟏𝒙𝟐+𝒚𝟏𝒚𝟐(2)设𝒂=(𝒙𝟏,𝒚𝟏)，b=(𝒙𝟐,𝒚𝟐)则𝒂⊥𝒃⟺𝒙𝟏𝒙𝟐+𝒚𝟏𝒚𝟐=𝟎一个质量分布均匀的正三角形钢板，重量为500N,在它的三个顶点处同时受力，每个力与它相邻的三角形两边之间的夹角都是60度，且大小均为200N，问钢板将如何运动？思考𝑭𝟐𝑭𝟏𝑭𝟑𝑮𝑶500N从建筑物上找向量的影子在空间里既有大小又有方向的量叫做空间向量。向量的大小叫向量的模什么是空间向量？问题𝟏问题𝟐空间向量怎样表示？什么是向量的模？𝑨𝑩𝒂空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模𝑨𝑩向量𝒂向量的模：，𝑨𝑩𝒂零向量：长度为𝟎的向量叫零向量单位向量：长度为𝟏的向量叫零向量相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量相反向量：长度相等且方向相反的向量叫相反向量问题𝟑阅读教材P85内容，怎样定义空间向量的加法与减法？空间向量𝒂,𝒃,可以平移到同一平面𝜶内，其加减法与平面向量的加减法一样.𝑶𝑨𝑩𝒃𝑪𝒂+𝒃𝒂𝑶𝑨𝑩𝒂𝒃𝒂+𝒃𝑶𝑨𝑩𝒂𝒃𝒂−𝒃ababOABbC空间向量加法交换律：空间向量的加法是否满足交换律？问题𝟒𝒂+𝒃𝒂+𝒃𝒃+𝒂=OABCOABC(空间向量)空间向量的加法是否满足结合律？=𝒂𝒃𝒄𝒂𝒃𝒄𝒃+𝒄𝒂+𝒃+𝒄𝒂+(𝒃+𝒄)问题𝟓探究𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏𝑫𝟏如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，分别标出𝑨𝑩+𝑨𝑫+𝑨𝑨𝟏，𝑨𝑩+𝑨𝑨𝟏+𝑨𝑫表示的向量，从中你能体会向量加法运算的交换律与结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？(课本P85探究)课堂练习课本𝑷𝟖𝟔𝟐、𝟑𝟑.𝟏.𝟐空间向量的数乘运算第二、三课时问题𝟔什么是空间向量的数乘？实数𝝀与空间向量𝒂的乘积仍是一个向量𝝀𝒂，称为向量的数乘.当𝝀𝟎时，𝝀𝒂与向量𝒂方向相同；当𝝀𝟎时，𝝀𝒂与向量𝒂方向相反;𝝀𝒂的长度是𝒂的长度的𝝀倍.𝒂𝝀𝒂(𝝀𝟎)𝝀𝒂(𝝀𝟎)问题𝟕空间向量的数乘仍满足分配律与结合律吗?分配律:𝝀𝒂+𝒃=𝝀𝒂+𝝀𝒃结合律：𝝀𝝁𝒂=𝝀𝝁𝒂问题𝟖什么是共线向量(平行向量)？如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫共线向量或平行向量探究对于空间任意两个向量𝒂与𝒃,如果𝒂=𝝀𝒃,𝒂与𝒃有什么位置关系?反过来,𝒂与𝒃有什么位置关系时,𝒂=𝝀𝒃?类似于平面向量共线的充要条件：对于空间向量𝒂,𝒃(𝒃≠𝟎),𝒂//𝒃的充要条件是存在实数𝝀,使𝒂=𝝀𝒃.问题𝟖什么是直线的方向向量？𝒂𝒍𝒂与直线𝒍平行的向量𝒂叫直线𝒍的方向向量问题𝟗类似于平面上点𝑷在直线𝒍上的充要条件，想一想空间中点𝑷在直线𝒍上的充要条件是什么？𝒍为经过已知点𝑨且平行于非零向量𝒂的直线，对于空间中任意一点𝑶，点𝑷在直线𝒍上的充要条件是：存在实数𝒕，使𝑶𝑷=𝑶𝑨+𝒕𝒂(𝒂是直线的方向向量)问题𝟏𝟎空间中三点𝐀、𝐁、𝑷共线的充要条件是什么？空间中三点𝐀、𝐁、𝑷共线的充要条件是:存在实数𝒕，使𝑶𝑷=𝑶𝑨+𝒕𝑨𝑩𝒂𝒍𝑨𝑩𝑷𝑶问题𝟏𝟏什么是共面向量？平行于同一平面(或在同一平面内)的向量叫共面向量问题𝟏𝟐空间中任意两个向量是否是共面向量？任意三个向量共面的充要条件是什么呢？探究对空间任意两个不共线的向量𝒂,𝒃，如果𝒑=𝒙𝒂+𝒚𝒃，那么向量𝒑与向量𝒂,𝒃有什么位置关系？反过来，向量𝒑与向量𝒂,𝒃有什么位置关系时，𝒑=𝒙𝒂+𝒚𝒃？如果两个向量𝒂,𝒃不共线,那么向量𝒑与𝒂,𝒃共线的充要条件是:存在惟一的有序实数对(𝒙,𝒚),使𝒑=𝒙𝒂+𝒚𝒃问题𝟏𝟑空间一点𝑷位于平面𝑨𝑩𝑪内的充要条件是什么？空间一点𝑷位于平面𝑨𝑩𝑪内的充要条件是:存在有序实数对(𝒙,𝒚),使𝑨𝑷=𝒙𝑨𝑩+𝒚𝑨𝑪；或对空间任意一点𝑶，有𝑶𝑷=𝑶𝑨+𝒙𝑨𝑩+𝒚𝑨𝑪𝑶𝑨𝑩𝑪𝑷𝜶问题𝟏𝟒利用向量如何判定三点共线？三点𝐀、𝐁、𝑷共线的充要条件是:存在实数𝒙、𝒚，使𝑶𝑷=𝒙𝑶𝑨+𝒚𝑶𝑩(𝒙+𝒚=𝟏)𝒍𝑨𝑩𝑷𝑶问题𝟏𝟓利用空间一点𝑷位于平面𝑨𝑩𝑪内的充要条件可得点P与点A、B、C共面已知空间任意一点𝑶和不共线的三点𝑨，𝑩，𝑪，满足向量关系式𝑶𝑷=𝒙𝑶𝑨+𝒚𝑶𝑩+𝒛𝑶𝑪(其中𝒙+𝒚+𝒛=𝟏)的点𝑷与点𝑨、𝑩、𝑪是否共面？四点𝐏,𝑨，𝑩，𝑪共面的充要条件是:空间任意一点𝑶，存在实数𝒙,𝒚,𝒛,使𝑶𝑷=𝒙𝑶𝑨+𝒚𝑶𝑩+𝒛𝑶𝑪(其中𝒙+𝒚+𝒛=𝟏)知识点1向量的概念例1𝑪给出下列命题:①若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;②若空间向量𝒂,𝒃满足𝒂=𝒃,则𝒂=𝒃;③在正方体𝑨𝑩𝑪𝑫−𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏𝑫𝟏中,有𝑨𝑪=𝑨𝟏𝑪𝟏;④若空间向量𝒎,𝒏,𝒑,满足𝒎=𝒏,𝒏=𝒑,则𝒎=𝒑;⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中真命题的个数为（）𝑨.𝟒𝑩.𝟑𝑪.𝟐𝑫.𝟏(点金训练P57例1)知识点2向量的加减运算和数乘运算例2𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏𝑫𝟏如图，在平行六面体𝑨𝑩𝑪𝑫−𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏𝑫𝟏中，𝑴分𝑪𝑨所成的比为𝟐:𝟏,𝑵分𝑫𝑨𝟏所成的比为𝟏：𝟐，设𝑨𝑩=𝒎，𝑨𝑫=𝒏，𝑨𝑨𝟏=𝒕，试将𝑴𝑵表示成𝒎,𝒏,𝒕的关系式.(点金训练P58例𝟐)𝑴𝑵知识点3共线向量和共面向量例3设四面体𝑨𝑩𝑪𝑫的三条棱𝑨𝑩=𝒃，𝑨𝑪=𝒄，𝑨𝑫=𝐝,求四面体其它各棱以及面𝑩𝑪𝑫面上的向量𝑫𝑴和𝑨𝑸，其中𝑴为𝑩𝑪的中点，𝑸是∆𝑩𝑪𝑫的重心.(点金训练P59例𝟑)𝑨𝑩𝑪𝑴𝑸𝑫𝒅𝒄𝒃变式已知𝑨,𝑩,𝑷三点共线,𝑶为空间任意一点,𝑶𝑷=𝒂𝑶𝑨+𝒃𝑶𝑩,求𝒂+𝒃的值.(点金训练P59例𝟑的变式)例4已知平行四边形𝑨𝑩𝑪𝑫,过平面𝑨𝑪外一点𝑶作射线𝑶𝑨,𝑶𝑩,𝑶𝑪,𝑶𝑫,在四条射线上分别取点𝑬,𝑭,𝑮,𝑯,并且使𝑶𝑬𝑶𝑨=𝑶𝑭𝑶𝑩=𝑶𝑮𝑶𝑪=𝑶𝑯𝑶𝑫=𝒌,求证:(1)𝑬,𝑭,𝑮,𝑯四点共面;(2)平面𝑨𝑩𝑪𝑫//平面𝑬𝑭𝑮𝑯𝑯𝑬𝑭𝑮𝑶𝑨𝑩𝑪𝑫变式𝑯𝑬𝑭𝑮𝑶𝑨𝑩𝑪𝑫已知𝑶,𝑨,𝑩,𝑪,𝑫,𝑬,𝑭,𝑮,𝑯为空间中的9个点(如图),并且𝑶𝑬=𝒌𝑶𝑨,𝑶𝑭=𝒌𝑶𝑩，𝐎𝐇=𝒌𝐎𝐃，𝐀𝐂＝𝐀𝐃＋𝐦𝐀𝐁，𝑬𝑮＝𝑬𝑯＋𝒎𝑬𝑭求证:(𝟏)𝑨,𝑩,𝑪,𝑫四点共面,𝑬,𝑭,𝑮,𝑯四点共面.(𝟐)𝑨𝑪//𝑬𝑮(𝟑)𝑶𝑮=𝒌𝑶𝑪课堂练习课本𝑷𝟖𝟗𝟏、𝟐、𝟑𝟑.𝟏.𝟑空间向量的数量积运算(𝟏)第四课时问题𝟏什么是空间向量的夹角？𝒂已知两个非零向量𝒂,𝒃，在空间任取一点𝑶，作𝑶𝑨=𝒂，𝑶𝑩=𝒃，则∠𝑨𝑶𝑩叫向量𝒂,𝒃的夹角，记作：𝒂,𝒃𝒃𝑶𝑶𝑨𝑨𝑩𝑩𝒂𝒂𝒂𝒃𝒃范围：𝒂,𝒃∈[𝟎,𝝅]𝒂,𝒃=𝒃,𝒂如果𝒂,𝒃=𝝅𝟐，那么向量与互相垂直,记作:𝒂⊥𝒃问题𝟐什么是向量的数量积？已知两个非零向量𝒂,𝒃,则𝒂𝒃cos𝒂,𝒃叫做𝒂与𝒃的数量积,记作:𝒂∙𝒃即𝒂∙𝒃=𝒂𝒃cos𝒂,𝒃零向量与任何向量的数量积为零.问题𝟑类比平面向量,你能说出𝒂∙𝒃的几何意义吗？问题𝟒空间向量的数量积还满足平面向量的数量积的运算律吗？𝝀𝒂∙𝒃=𝝀(𝒂∙𝒃)𝒂∙𝒃=𝒃∙𝒂(交换律)𝒂∙𝒃+𝒄=𝒂∙𝒃+𝒂∙𝒄(分配律)问题𝟓对于三个均不为𝟎的数𝒂,𝒃,𝒄,若𝒂𝒃=𝒂𝒄,则𝒃=𝒄.对于向量𝒂,𝒃,𝒄,由𝒂∙𝒃=𝒂∙𝒄,能得到𝒃=𝒄吗？如果不能,请举出反例.不能，如：非零向量𝒂,𝒃,𝒄满足𝒂⊥𝒃,𝒂⊥𝒄时，𝒂∙𝒃=𝒂∙𝒄对于三个均不为𝟎的数𝒂,𝒃,𝒄,若𝒂𝒃=𝒄,则𝒂=𝒄𝒃(或𝒃=𝒂𝒄).对于向量𝒂,𝒃,由𝒂∙𝒃=𝒌,能不能写成𝒂=𝒌𝒃(或𝒃=𝒌𝒂)吗？也即是说，向量有除法吗？问题𝟔不能，向量没有除法问题𝟕对于三个均不为𝟎的数𝒂,𝒃,𝒄,若𝒂𝒃𝒄=𝒂(𝒃𝒄),对于向量𝒂,𝒃,𝒄,𝒂∙𝒃𝒄=𝒂(𝒃∙𝒄）成立吗？向量的数量积满足结合律吗？不成立，即向量不可以连乘，向量的数量积不满足结合律.例如:任取三个不共线的向量𝒂,𝒃,𝒄,𝒂∙𝒃𝒄是一个数与向量𝒄作数乘,𝒂𝒃∙𝒄是一个数与向量𝒂作数乘,而𝒂,𝒄不在同一方向上,所以𝒂∙𝒃𝒄与𝒂𝒃∙𝒄不等.知识点1利用空间向量的数量积证明垂直例1在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.三垂线定理𝑶𝑨𝑷𝒍𝜶已知:如图,𝑷𝑶,𝑷𝑨分别是平面𝜶的垂线,𝑨𝑶是𝑷𝑨在平面𝜶内的射影,𝒍⊂𝜶,且𝒍⊥𝑶𝑨,求证:𝒍⊥𝑷𝑨(课本P91例2)在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射影垂直.三垂线定理的逆定理问题𝟖你可以几何方法证明吗？例2如图,𝒎,𝒏是平面𝜶内的两条相交直线,如果𝒍⊥𝒎,𝒍⊥𝒏,求证:𝒍⊥𝛂𝜶𝒍𝒎𝒏𝒈𝒍𝒏𝒎𝒈直线与平面垂直的判定定理课堂练习课本𝑷𝟗𝟐练习𝟏、𝟐、𝟑𝟑.𝟏.𝟑空间向量的数量积运算(𝟐)第五课时知识点1利用空间向量的数量积证明垂直例3已知空间四边形𝑶𝑨𝑩𝑪中,∠𝑨𝑶𝑩=∠𝑩𝑶𝑪=∠𝑨𝑶𝑪,且𝑶𝑨=𝑶𝑩=𝑶𝑪,𝑴,𝑵分别是𝑶𝑨,𝑩𝑪的中点,𝑮是𝑴𝑵的中点,求证:𝑶𝑮⊥𝑩𝑪(点金训练P63例1)𝑶𝑨𝑩𝑪𝑴𝑵𝑮知识点2求长度(或距离)例4已知线段𝑨𝑩在平面𝜶内,线段𝑨𝑪⊥𝜶,线段𝑩𝑫⊥𝑨𝑩,且与𝜶所成的角是𝟑𝟎𝟎