南昌大学2013级高数(上)试题及答案

1南昌大学2013～20014学年第一学期期末考试试卷一、填空题(每空3分，共15分)1.函数21()36lg(3)fxxx的定义域是。2.设函数xyearctan,则dy。3.函数3(1)(1)yxx的单调增加区间是。4.32411xxddtdxt_________。5.2222xxdxx。二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.当0x时，曲线1sinyxx（）。（A）有且仅有铅直渐近线.（B）有且仅有水平渐近线.（C）既有水平渐近线，又有铅直渐近线.（D）既无水平渐近线，又无铅直渐近线.2.当0x时，sinxx是2x的（）。（A）高阶无穷小.（B）低阶无穷小.（C）等价无穷小.（D）同阶但非等价无穷小.3.曲线2sinyxx在点(,1)22处的切线方程为（）(A)1yx.(B)2yx.(C)1yx.(D)12yx.4.曲线2xye的上凸区间是（）。(A)11(,)22.(B)1(,)2.2(C)1(,)2.(D)没有凸区间.5.tancosxdxx（）。(A)2sinCx.(B)2tanCx.(C)2cosCx.(D)2cosCx.三、计算题（一）（每小题8分，共24分）1.3sin0lim12xxx。2.1lim(1)xxxe。3.设函数()yyx是由方程2xyxy所确定的隐函数，求'(0)y。四、计算题（二）（每小题8分，共16分）1.设2ln(1),arctan,xtytt求22dydx。2.求不定积分11xxedxe。五、求下列各题（每小题8分，共16分）1.计算定积分4111dxx。2.试问a为何值时，函数1()sinsin33fxaxx在3x处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值。六、解答题与证明题（第1小题8分，第2小题6分，共14分）31.确定常数a和b，使函数2,1,(),1axbxfxxx处处可导。2.设()fx在区间[0,1]上可微，且满足条件：fxfxdx120(1)2()，试证:存在(0,1)，使得ff()'()0。南昌大学2013～2014学年第一学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空3分，共15分)1.函数21()36lg(3)fxxx的定义域是6,22,32.设函数xyearctan,则dy221xxexe3.函数3(1)(1)yxx的单调增加区间是1,24.32411xxddtdxt21283211xxxx5.2222xxdxxln3二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.当0x时，曲线1sinyxx（B）。（A）有且仅有铅直渐近线.（B）有且仅有水平渐近线.（C）既有水平渐近线，又有铅直渐近线.（D）既无水平渐近线，又无铅直渐近线.42.当0x时，sinxx是2x的（A）。（A）高阶无穷小.（B）低阶无穷小.（C）等价无穷小.（D）同阶但非等价无穷小.3.曲线2sinyxx在点(,1)22处的切线方程为（C）(A)1yx.(B)2yx.(C)1yx.(D)12yx.4.曲线2xye的上凸区间是（A）。(A)11(,)22.(B)1(,)2.(C)1(,)2.(D)没有凸区间.5.tancosxdxx（D）。(A)2sinCx.(B)2tanCx.(C)2cosCx.(D)2cosCx.三、计算题（一）（每小题8分，共24分）1.3sin0lim12xxx。解:原式162sin0lim12xxxxx6e2.1lim(1)xxxe。5解:原式112211limlim11xxxxeexxx1lim1xxe3.设函数()yyx是由方程2xyxy所确定的隐函数，求'(0)y。解:方程两边对x求导，有2ln2'1'xyyxyy由原方程知0x时，1y，代入上式，得'(0)ln21y四、计算题（二）（每小题8分，共16分）1.设2ln(1),arctan,xtytt求22dydx。解:2222121,111dytdxtdtdtttt.2dydytdtdxdxdt.()12dyddxdt.2222112241dyddydxddytdxdtdxtdxtdxdtt.62.求不定积分11xxedxe。解:原式12(1)11xxxxxxxeeeeedxdxee21xxedxdxe2ln1.xexC五、求下列各题（每小题8分，共16分）1.计算定积分4111dxx。解:令xt，则2,2xtdxtdt，于是原式2121tdtt221111122111tdtdttt2122ln(1)21ln3tt2.试问a为何值时，函数1()sinsin33fxaxx在3x处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值。解:3'()coscos303xfaxx，得2a又3''()(2sin3sin3)303xfxx3x时，()fx取极大值，()33f六、解答题与证明题（第1小题8分，第2小题6分，共14分）71.确定常数a和b，使函数2,1,(),1axbxfxxx处处可导。解:当1x时，()fx显然可导。当1x时，因()fx在1x处连续，由(10)(10)(1)fff，得1ab由2101'(10)lim21xxfx，10101'(10)limlim11xxaxbaxafaxx得2a故当2a，1b时，()fx处处可导。2.设()fx在区间[0,1]上可微，且满足条件：fxfxdx120(1)2()，试证:存在(0,1)，使得ff()'()0。证明：设()()Fxxfx，由积分中值定理知，1[0,]2，使1/21/2001()()()2xfxdxFxdxF由已知条件，有1/201(1)2()2()()2fxfxdxFF又由于(1)(1)()FfF，且()Fx在[,1]上连续，在(,1)上可导，故由罗尔定理知：(,1)(0,1)，使'()0F，即()'()0ff