南昌大学第八届高等数学竞赛(理工类)答案

第1页共5页南昌大学第八届高等数学竞赛(理工类)试题答案一、填空题(每题3分，共15分)1、12.2、92.3、212cos3sin3xyecxcx.4、1.5、122146xyz.二、单项选择题(每题3分，共15分)1-5、DABAC三、（本题满分6分）设fx在xa处连续，讨论arctanxfxxa在xa处的连续性与可导性.解x在xa处连续。arctanlimxafxxaafaxa，arctanlimxafxxaafaxa，当0fa时，x在xa处可导；当0fa时，x在xa处不可导。四、（本题满分6分）求极限3200sinlimxtdtxtxx.解222000sin1sin1sinxxttxtdtxtdtxuxxudux，其中tux，原式=22001lim1sinxuxxudux=120101lim1sin1sinxuxuduuxudux=3011cos2sin22sinlimxxxxxxx=1第2页共5页五、（本题满分7分）设fx、gx在,aa（0a）上连续，gx为偶函数，且满足fxfxA(A为常数).(1)试证：0aaafxgxdxAgxdx;(2)计算：22sinarctanxxedx.令xt，0000aaaafxgxdxftgtdtftgtdtfxgxdx00aaaafxgxdxfxgxdxfxgxdx=0afxfxgxdx=0aAgxdx令arctanxfxe，0fxfx，因而fxfxc=00ff=2由（1）得22sinarctanxxedx=20sin22xdx六、（本题满分6分）设函数fx在,内具有一阶连续的导数，L是上半平面0y内的有向分段光滑曲线，其起点为,ab,终点为,cd.记222111LxIyfxydxyfxydyyy.(1)证明：曲线积分I与路径无关；(2)当abcd时，求曲线积分I的值.21,1Pxyyfxyy，22,1xQxyyfxyy21Pfxyxyfxyyy=Qx222111cdabcIbfbxdxyfcydyby=cdabcaftdtdb=cadb得分评阅人第3页共5页七、（本题满分8分）设可微函数f对任意,xyR满足1fxfyfxyfxfy,且01f，求fx.2001limlim1xxfxxfxfxfxfxxxfxfx010ffyfyffy，2010ffy，由01f得00f21fxfx，解得2211xxefxe八、（本题满分7分）计算10sinlnxdx.原式=1100sinlncoslnxxxdx=1100coslnsinlnxxxdx210sinlnxdx=110sinlnxdx=12得分评阅人得分评阅人第4页共5页九、（本题满分7分）求和1112nnnn.令111nnsxnnx，2111nnxxx，1x2121211nnxxxx即111nnnnx221x，1x1112nnnn=12s=16十、（本题满分8分）求异面直线111:112xyzL和212:134xyzL之间的距离.两直线的参数方程分别为1:1,,12Lxtytzt2:,13,24Lxsyszs2d=222113142ststst252244dsts，224124dstt7,13ts，33d得分评阅人得分评阅人第5页共5页十一、（本题满分8分）注：科技学院考生只做第1题,其他考生只做第2题。1.计算2220yxdxedy.2.计算曲面积分2222axdydzzadxdyIxyz，其中为下半球面222zaxy的上侧，a为大于0的常数.1、2220yxdxedy=2200yyedydx=220yyedy=224011122yee2、由222zaxy得21Iaxdydzzadxdya，令2220:0xyaz，取下侧0232axdydzzadxdyazdv=222204:22zaDxyazadzzdxdy=222204444:1322222zaDxyazadzzdxdyaaa024axdydzzadxdya32aI评阅人