南昌大学第七届高等数学竞赛(经济类)试题及答案

第1页共12页南昌大学第七届高等数学竞赛(经济类)试题序号：姓名：学院:第考场专业：学号：考试日期：2010年10月10日题号一二三四五六七八九十十一总分累分人签名题分1818777687787100得分注:本卷共七页,十一道大题,考试时间为8:30——11:30.得分评阅人一、填空题(每题3分，共18分)1、已知当0x时，2311ax与cos1x是等价无穷小，则常数a=.2、设0a，0b，则nnnnba2lim＝.3、已知22,yxyxyxf，则yxf2.4、20sinsincosxdxxx=.5、微分方程212xyxy满足初始条件00y，01y的特解是.6、设某产品的需求函数为QQP,其对应价格P的弹性0.2P,则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元.第2页共12页二、单项选择题(每题3分，共18分)得分评阅人1、设fx在xa的某邻域内有定义，则fx在xa处可导的一个充分条件是（）(A)1limfafa存在.(B)02lim2fafa存在.(C)02limfafa存在.(D)0limfafa存在.2、函数3sinxxfxx的可去间断点的个数为（）(A)2.(B)3.(C)4.(D)无穷多个.3、设fx在,上二阶可导,且0fx，1lim01xfxx,则当1x时,fx（）(A)单调递减且大于零.(B)单调递减且小于零.(C)单调增加且大于零.(D)单调递增且小于零.4、累次积分cos200cos,sindfd可表示为（）(A)2100,yydyfxydx.(B)21100,ydyfxydx.(C)1100,dxfxydy.(D)2100,xxdxfxydy.5、设22cosfxfxxdxA，2,322ff，则A的值为（）(A)0.(B)1.(C)1.(D)5.6、方程052yyy的通解为（）(A)xcxceyx2sin2cos21.(B)xcxceyx2sin2cos21.(C)xcxceyxsincos212.(D)xcxceyxsincos212.第3页共12页三、（本题满分7分）求函数222,,zyxzyxf在条件1czbyax下的最小值.四、（本题满分7分）计算0sinlimxxtdtx.得分评阅人得分评阅人第4页共12页五、（本题满分7分）设二元函数,zzxy是由方程2sinxyxeyzyzxz所确定，求2,0,02xyzx.六、（本题满分6分）求极限xxx220cot1lim.得分评阅人得分评阅人第5页共12页七、（本题满分8分）求级数12nnxn的和,并计算12232nnnn.八、（本题满分7分）计算2211DxyIdxdyxy，其中区域22,1,0Dxyxyx得分评阅人得分评阅人第6页共12页九、（本题满分7分）设函数,0,0;0,1sin2xxxxxf（1）求xf，（2）判断xf在0x处是否连续.十、（本题满分8分）设xyyxfz,2，其中f具有二阶连续偏导数，求xz及22xz.得分评阅人得分评阅人第7页共12页十一、（本题满分7分）设fx在[0,)上连续，且01xxfxetfxtdt，（1）判别级数111nnfn的敛散性；（2）判别级数11nfn的敛散性.得分评阅人第8页共12页南昌大学第七届高等数学竞赛(经济类)试题答案一、填空题1、32.2、ab.3、1.4、4.5、33xyx.6、12000.二、1、D2、B3、C4、D5、D6、A三、解令222,,,1Lxyzxyzaxbycz20xLxa;20yLyb,20zLzc；1axbycz由上述方程解得222axabc，222byabc，222czabc最小值为2222222222222221abcabcabcabcabc四、解100sinsinsin2nntdttdttdt当x时，存在正整数n使1nxn，因此1000sinsinsinnxntdttdttdt2n0sinxtdt21n0sin2121xtdtnnnxnlimn221nn，limn212nn0sinlimxxtdtx=2第9页共12页五、解由0,0xy得0z.方程两边对x求偏导得2sincosxyxyzzzexeyyzyxzxxxx,0,0,,0,0,01xyxyzzzxx上述方程两边再对x求偏导数得2212sincosxyxyzzzeyxyeyyzyxzxxxxxx将0,0xy，0z代入得2,0,02xyzx=0六、原式=222220sincoslimsinxxxxxx=200sincossincoslimlimsinsinxxxxxxxxxxx=230sincoslimxxxxx=220coscossinlim3xxxxxx=23第10页共12页七、令12nnxnxS,则112nnxnxxS10112nnxnnnxxdxxnx11nnnxxx21xxx=311xxx,1x故12232nnnn=2153241S八、122021cossin1rrIdrdrr，由于31122220022cossincossin011rrrdrdrddrrr，因此1220211Idrdrr=ln22第11页共12页九、当0x时，00010limlimsin0xxfxffxxx当0x时，112sincosfxxxx112sincos,00,0xxfxxxx0limxfx不存在，故xf在0x处不连续十、2212xyfxyfxz＝2221fxyfxy222212232121112222222xyfxyfxyfxyxyfxyfxyfyxz＝224223122112212442fxyfxyfxyfyxfy第12页共12页十一、令uxt，则0xtfxtdt=0xxufudu=00xxxfuduufudu1xfxe00xxxfuduufuduxfxe0xfudu，由于fx在[0,)上连续，于是fx在[0,)上连续0lim010xfxf01f，存在0使得当0,x时0fx，于是00fxf，存在正整数N，使nN时10fn，1fn单减，1lim0nfn，由莱布尼兹判别法知111nnfn收敛；00limlim1xxfxfxx1lim11nfnn11nfn发散