南昌大学第六届高等数学竞赛(理工类)试题及答案

第1页共13页南昌大学第六届高等数学竞赛(理工类)试题序号：姓名：学院:第考场专业：学号：考试日期：2009年10月11日题号一二三四五六七八九十十一十二总分累分人签名题分15156687677788100得分注:本卷共七页,十二道大题,考试时间为8:30——11:30.得分评阅人一、单项选择题(每题3分，共15分)1、设xxxf1arctan,xxg1arctan，则0x分别是()fx和xg的（）(A)可去间断点、无穷间断点.(B)可去间断点、跳跃间断点.(C)无穷间断点、可去间断点.(D)跳跃间断点、无穷间断点.2、设222:,ayxyxD，则dxdyyxeaDyxasin1lim2230（）(A).(B)不存在.(C).(D)0.3、设xyxz，其中u为可导函数，则yzyxzx（）(A)x.(B)y.(C)1.(D)xyxy.4、空间曲线tztytx3sin3cos2:上任一点处的切线（）(A)与z轴成定角.(B)与x轴成定角.(C)与yoz平面成定角.(D)与zox平面成定角.5、设级数12nnu收敛，则级数1nnnu()(A)可能收敛也可能发散.(B)条件收敛.(C)绝对收敛.(D)发散.第2页共13页二、填空题(每空3分，共15分)得分评阅人1、111lnlim4002xdttxx＝.2、设xf连续，则dttxtfdxdx022=.3、将dyyxfdxxx32220化成极坐标形式的二次积分为.4、设L是圆周422yx，L的方向为逆时针方向，则dyxydxyxeLx222=5、设0ba，则级数1nnnnbax的收敛半径为.三、（本题满分6分）求由方程032xyyx所确定的函数xyy在,0内的极值，并判断是极大值还是极小值.得分评阅人第3页共13页四、（本题满分6分）设xyyxu1arctan，求xu,22xu.五、（本题满分8分）计算曲线积分LyxydxxdyI224，其中L是以点（1，0）为中心、R为半径的圆周，,0R1R,取逆时针方向.得分评阅人得分评阅人第4页共13页六、（本题满分7分）设函数xf在,0内具有连续的导数，且满足422222tdxdyyxfyxtfD，其中D是由222tyx所围成的闭区域，求当x,0时xf的表达式.七、（本题满分6分）设dxxxann0sin，求级数1111nnnaa的和.得分评阅人得分评阅人第5页共13页八、（本题满分7分）设fx在,0上连续且单调增加，试证：对任意正数a，b，恒有babadxxfadxxfbdxxxf0021.九、（本题满分7分）设vu,具有连续偏导数，由方程bzyazx,=0确定隐函数yxzz,，求yzbxza.得分评阅人得分评阅人第6页共13页十、（本题满分7分）设nnxn121112，判别数列nx的敛散性.十一、（本题满分8分）设半径为r的球面的球心在球面0：22220xyzRR上，问当r为何值时，球面在球面0内部的那部分面积最大？得分评阅人得分评阅人第7页共13页十二、（本题满分8分）注：科技学院考生只作第1题,其他考生只作第2题。1.计算dsyxyxIL22221，其中曲线弧L为：xyx222，0y.2.计算曲面积分3322231Ixdydzydzdxzdxdy，其中是曲面221yxz被平面0z所截出部分的上侧.得分评阅人第8页共13页南昌大学第六届高等数学竞赛(理工类)试题答案一、单项选择题(每题3分，共15分)1、B.2、D.3、A.4、A.5、C.二、选择题(每空3分，共15分)1、1.2、2xxf.3、sec2034rdrrfd.4、8.5、a.三、求由方程032xyyx所确定的函数xyy在,0内的极值，并判断是极大值还是极小值.对032xyyx两边求导得2230xyyyxy，223yxyyx，令0y得2yx，代入原方程解得11,84xy.2111122,,,08484232613xyxyyyyxyxyyyyx=320.故当18x时，y取极大值14.四、设xyyxu1arctan，求xu,22xu.2211111xyyyxxyxyyxxu=211x,第9页共13页22xu=2212xx.五、计算曲线积分LyxydxxdyI224，其中L是以点（1，0）为中心，R为半径的圆周,0R1R,取逆时针方向.224,yxyyxP,224,yxxyxQ,当0,0,yx时,xQyxxyyP2222244当10R时D0,0,由格林公式知,0I.当1R时,D0,0,作足够小的椭圆曲线sincos2:yxC,从0到2.当0充分小时,C取逆时针方向,使DC,于是由格林公式得0422CLyxydxxdy，因此Lyxydxxdy224Cyxydxxdy224=d202221=六、设函数xf在,0内具有连续的导数，且满足422222tdxdyyxfyxtfD，其中D是由222tyx所围成的闭区域，求当x,0时xf的表达式.224002tftdrfrrdrt第10页共13页=3404trfrdrt,两边对t求导得3344fttftt，且00f，这是一个一阶线性微分方程，解得411tfte.七、设dxxxann0sin，求级数1111nnnaa的和.令tnx,则dtttnann0sin=nnadttn0sin.0sin2nnnatdt22200sinsin22nntdttdtn.1111111nnaann.1111nnkkkSaa=11111nkkk=1111n,S111lim11nn八、设fx在,0上连续且单调增加，试证：对任意正数a，b，恒有babadxxfadxxfbdxxxf0021.令0xFxxftdt，则0xFxftdtxfx,baFbFaFxdx=0bxaftdtxfxdx第11页共13页baxfxxfxdx=2baxfxdx,于是001122bbaaxfxdxFbFabfxdxafxdx.九、设vu,具有连续偏导数，由方程bzyazx,=0确定隐函数yxzz,，求yzbxza.两边对x求偏导得1210zzabxx,两边对y求偏导得1210zzabyy,112zxab，212zxab,yzbxza=1.十、设nnxn121112，判别数列nx的敛散性.定义00x，令1kkkuxx，则1nknkux,当2n时，11221nnnuxxnnn,=22111111nnnnnnnnnnn.第12页共13页1lim14nnunn,由11nnn可知1nnu收敛，从而nx收敛.十一、设半径为r的球面的球心在球面0：22220xyzRR上，问当r为何值时，球面在球面0内部的那部分面积最大？由对称性可设的方程为2222xyzRr，球面被球面0所割部分的方程为222zRrxy，222zxxrxy,222zyxrxy,2212zzx222rrxy.球面与球面0的交线在xoy平面的投影曲线方程为422224rxyrR，令4224rlrR所求曲面面积为222220012lDzzrSrdxdyddxr,=222rrrR.令0Sr得驻点43rR,容易判断当43rR时，球面在球面0内部的那部分面积最大.十二、（本题满分8分）注：科技学院考生只作第1题,其他考生只作第2题.1.计算dsyxyxIL22221，其中曲线弧L为：xyx222，0y.22xxy,(1)第13页共13页221xxxy,22112dsydxdxxx，(2)将(1)、(2)代入dsyxyxIL22221得dxxxxI220212=dxx20212=4.2.计算曲面积分3322231Ixdydzydzdxzdxdy，其中是曲面221yxz被平面0z所截出部分的上侧.记1为xoy平面上被园221xy所围成的部分的下侧，为由与0围成的空间闭区域.由高斯公式知13322222316xdydzydzdxzdxdyxyzdv=221120006rddrzrrdz=122320112112rrrrdr=2.221332122313xyxdydzydzdxzdxdydxdy=323I