南昌大学第五届高数竞赛理工类试题及答案

第1页共12页南昌大学第五届高等数学竞赛(理工类)试题序号：姓名：学院:第考场专业：学号：考试日期：2008年9月21日题号一二三四五六七八九十十一十二总分累分人签名题分15158677677787100得分注:本卷共七页,十二道大题,考试时间为8:30——11:30.一、填空题(每空3分，共15分)得分评阅人1、20sin1limarcsinxxexx＝.2、设fx在0x处可导，则000limtfxmtfxntt.3、设fx是连续函数，且102fxxftdt，则11fxdx.4、已知两直线方程是1123:101xyzL与221:211xyzL，则过1L且平行2L的平面方程为.5、由方程2222xyzxyz所确定的函数,zzxy在点1,0,1处的全微分为.第2页共12页二、单项选择题(每题3分，共15分)得分评阅人1、设xf=2,0,xxx为有理数为无理数，则()fx可导点的个数为（）(A)0.(B)1.(C)2.(D)无穷.2、设t是正值连续函数，0a，aafxxttdt，axa，关于曲线yfx，下列说法正确的是（）(A)在,0a上是凹的，在0,a上是凸的.(B)在,0a上是凸的，在0,a上是凹的.(C)在,aa上是凹的.(D)在,aa上是凸的.3、级数2132nnnnxnn的收敛域为（）(A)11,33.(B)11,33.(C)11,22.(D)11,22.4、设C为圆周22xyax，0a，则22Cxyds（）(A)122a.(B)2a.(C)42a.(D)22a.5、设40tannnuxdx，则11nnnu()(A)发散.(B)条件收敛.(C)绝对收敛.(D)无法判断.第3页共12页三、（本题满分8分）设二元函数222222221sin,0;,0,0,xyxyfxyxyxy试解答(1)yxf,在点0,0是否连续？(2)求0,0xf，0,0yf.(3),xfxy，,yfxy在点0,0是否连续？(4)yxf,在点0,0是否可微?四、（本题满分6分）计算定积分值40sincossincosxxdxxx.得分评阅人得分评阅人第4页共12页五、（本题满分7分）计算曲线积分22(1)(1)LydxxdyIxy，其中L为椭圆22194xy的正向.六、（本题满分7分）设连接两点0,1A与1,0B的一条凸弧，点,Pxy为凸弧AB上的任意一点，已知凸弧与弦AP之间的面积为3x，求此凸弧的方程.得分评阅人得分评阅人第5页共12页七、（本题满分6分）设k为非零常数，试判断级数221sinnnk的敛散性（发散、条件收敛还是绝对收敛）.八、（本题满分7分）设函数fx连续，且222Ftzfxydv，其中空间区域为：0zh，222xyt，求导数dFdt和极限20limtFtt.得分评阅人得分评阅人第6页共12页九、（本题满分7分）设2,zfxyxy，其中,fuv具有二阶连续偏导数，二阶可导，求2zxy.十、（本题满分7分）计算12222lim1112nnnnnnnnn.得分评阅人得分评阅人第7页共12页十一、（本题满分8分）求级数20112nnnnn的和.十二、（本题满分7分）设fx在0,1上有连续的导数，求证：当0,1x，有10fxftftdt.得分评阅人得分评阅人第8页共12页南昌大学第五届高等数学竞赛(理工类)试题答案一、1.12,2.0mnfx,3.2,4.320xyz,5.2dxdy.二、1、B2、C3、A4、D5、B三、由于220,0lim0xyxy，221sin1xy，因此22220,01limsin0xyxyxy=0,0f，所以yxf,在点0,0连续.2分00,00,010,0limlimsin0xxxfxffxxx，3分同理0,00yf.4分求得2222222222112sincos,0;,0,0,xxxxyfxyxyxyxyxy5分当0,0xy时，,xfxy不存在，因此,xfxy在点0,0不连续，同理,yfxy在点0,0不连续.6分220,00,00,0limxyxyzfxfyxy=0,0limxy22221sinxyxy=0于是yxf,在点0,0是可微.8分四、原式=4400111sincos222sin4xxdxdxx3分=4011sincoslncsccot24422xxxx5分第9页共12页=11ln212226分五、2222222111xyPyyyxyxy，22222221111xxyQxyxyxy.2分由格林公式得0LlPdxQdy，于是LPdxQdylPdxQdy，3分其中l为2211xy的正向，令1cosx，siny，则2220sinsincoscoscossinId6分=202d7分六、设凸弧的方程为yfx，依题意得3012xxxftdtfx.3分两边对x求导得261xyyx,即116yyxxx.通解为261ycxx,6分由10y得5c.故所求曲线为2561yxx.7分七、22sinnanknn第10页共12页=1n22sinnkn=1n222sinknkn,3分当n充分大时，级数1nna是交错级数.limn222sinknkn=0，且当n充分大时1nnaa，因此级数1nna收敛.4分其次，考虑级数1nna，由于222limlimsin1nnnaknnknn=22k，因此级数1nna发散，5分所以级数221sinnnk条件收敛.6分八、222Ftzdvfxydv=22222222200hhxytxytzdzdxdydzfxydxdy2分=3222003ththdfrrdr3分=322023ththfrrdr,5分32223dFhthtftdt.6分由罗毕达法则得233200limlim20323tttftFthhhhftt.7分九、令2,uxyvxy，第11页共12页122zxfyfx,2分222211122222zxyfxfxyfxyfxy.7分十、因为2221iiinnninnnn,2分所以111121221iiinnnnnniiiinnnn.10111lim22ln2inxnnidxn,4分11111lim2limlim211ln2iinnnnnnniinnnn,6分由夹逼准得12222lim1112nnnnnnnnn=1ln2.7分十一、21112nnnnn=0011122nnnnnn,011212312nn.2分令22112nnnsxnnx,则sx=321422nnnxx，4分1s0141227nnnn，6分20112nnnnn=2422327277分十二、因为ft连续，ft也连续，所以由积分中值定理存在0,1使第12页共12页10,01ftdtf.2分又xfxfftdt，即xfxfftdt，4分所以xxfxfftdtfftdt6分10fftdt故10fxftftdt.7分