南昌大学第八届高等数学竞赛(0809级数学专业类)试题

第1页共5页南昌大学第八届高等数学竞赛（数学专业类2008、2009级）试卷序号：姓名：学号:学院：班级：第考场考试日期：2011年10月16日题号一二三四五六七八九总分累分人签名题分21101010101010109100得分考生注意事项：1、本试卷共5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、计算题(每空7分，共21分)得分评阅人1、xyyxyx)(lim22)0,0(),(2、设dtttxfx0sin)(，求0)(dxxf3、若yexz2，且)(xyy由方程1cosyyex确定的隐函数，求dxdz第2页共5页二、用N定义证明：若0limaxaxnnn，则axnnlim得分评阅人三、设]),0([Cf，若有00sin)(xdxxf，00cos)(xdxxf，则)(xf在),0(内至少有两个零点。得分评阅人第3页共5页四、设)(xf在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，且0)1()0(ff，0)(xf，（x(0，1)）.若)(xf在[0，1]上的最大值为M0，求证：对任意的自然数n，(1)存在唯一的nx(0，1)，使得nMxfn)(；(2)极限nnxlim存在，并且(fnnxlim)=M。得分评阅人五、设函数)(xf在),[a上连续，)(xf在),(a存在且)(limxfx，则)(xf在),[a上不一致连续。得分评阅人第4页共5页六、设0na(Nn),且11nna收敛，试证明1)(1nnax在不含na（Nn）的区间],[ba上一致收敛。得分评阅人七、设)(xf在],[ba上可积，若在x时，)(xf与nx是同阶无穷大量，则xadttfxF)()(在x时与1nx是同阶无穷大量得分评阅人第5页共5页八、设函数RRf2:,满足下列条件：（1）2),(Ryx，0),(yxf，当且仅当)0,0(),(yx时0),(yxf；（2）2),(Ryx，R，),(),(yxfyxf；（3）2),(),,(Rvuyx，),(),(),(vufyxfvyuxf证明下列命题成立：（A）2),(),,(Rvuyx,),(),(),(vufyxfvyuxf；（B）函数f在原点（0，0）连续，同时在2R上连续；（C）存在正数,使得2),(Ryx：2222),(yxyxfyx得分评阅人九、求byczbyax2222222所围立体的体积得分评阅人