2018无锡市一模数学试题含答案

江苏省无锡市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合A＝{1，3}，B＝{1，2，m}，若A∪B＝B，则实数m＝________．2.若复数a＋3i1－2i(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a＝________．3.某高中共有学生2800人，其中高一年级有960人，高三年级有900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级的学生人数为________．4.已知a，b∈{1，2，3，4，5，6}，直线l1：2x＋y－1＝0，l2：ax－by＋3＝0，则直线l1⊥l2的概率为________．5.根据如图所示的伪代码，当输入a的值为3时，最后输出的S的值为________．6.在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．7.已知变量x，y满足x≥2，x＋y≤4，2x－y≤c，目标函数z＝3x＋y的最小值为5，则c的值为________．8.若函数y＝cos(2x＋φ)(0φπ)的图象向右平移π2个单位长度后，与函数y＝sin2x－π2的图象重合，则φ＝________．9.已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，54，2a7成等差数列，则a1·a2·…·an的最大值为________．10.过圆x2＋y2＝16内一点P(－2，3)作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为________．11.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与椭圆x216＋y212＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则PF21PF2的最小值为________．12.在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠A＝π3，M为DC的中点，N为平面ABCD内一点，若|AB→－NB→|＝|AM→－AN→|，则AM→·AN→＝________．13.已知函数f(x)＝x2＋2x－1x2，x≤－12，log121＋x2，x－12，g(x)＝－x2－2x－2.若存在a∈R，使得f(a)＋g(b)＝0，则实数b的取值范围是______________．14.若函数f(x)＝(x＋1)2|x－a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF.(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)求证：AC∥平面BEF.16.(本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA＝34，C＝2A.(1)求cosB的值；(2)若ac＝24，求△ABC的周长．17.(本小题满分14分)如图，点C为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD为海岸线，∠CAB＝π3，AB⊥BD，BC︵是以A为圆心，1km为半径的圆弧形小路．该市拟修建一条从点C通往海岸的观光专线CP︵PQ，其中P为BC︵上异于点B，C的一点，PQ与AB平行，设∠PAB＝θ.(1)证明：观光专线CP︵PQ的总长度随θ的增大而减小；(2)已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路CP︵的单位成本的2倍．当θ取何值时，观光专线CP︵PQ的修建总成本最低？请说明理由．18.(本小题满分16分)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a0，b0)的离心率为22，F1，F2分别为左、右焦点，A，B分别为左、右顶点，原点O到直线BD的距离为63.设点P在第一象限，且PB⊥x轴，连结PA交椭圆于点C.(1)求椭圆E的方程；(2)若三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积，求直线PA的方程；(3)求过点B，C，P的圆的方程(结果用t表示)．19.(本小题满分16分)已知数列{an}满足1－1a11－1a2…1－1an＝1an，n∈N*，Sn是数列{an}的前n项和．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，求正整数p，q的值；(3)是否存在k∈N*，使得akak＋1＋16为数列{an}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．20.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ex(3x－2)，g(x)＝a(x－2)，其中a，x∈R.(1)求过点(2，0)且和函数y＝f(x)的图象相切的直线方程；(2)若对任意x∈R，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)若存在唯一的整数x0，使得f(x0)g(x0)，求实数a的取值范围．2018届高三年级第一次模拟考试(八)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B.[选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A＝34ab，若矩阵A属于特征值λ1的一个特征向量为a1＝1－2，属于特征值λ2的一个特征向量为a2＝2－3，求矩阵A.C.[选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是x＝12t，y＝32t＋m(t是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C的极坐标方程是ρ＝4sinθ，且直线l与圆C相交，求实数m的取值范围．22.(本小题满分10分)某公司有A，B，C，D四辆汽车，其中A车的车牌尾号为0，B，C两辆车的车牌尾号为6，D车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车．已知A，D两辆汽车每天出车的概率为34，B，C两辆汽车每天出车的概率为12，且四辆汽车是否出车是相互独立的．该公司所在地区汽车限行规定如下：汽车车牌尾号车辆限行日0和5星期一1和6星期二2和7星期三3和8星期四4和9星期五(1)求该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率；(2)设ζ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求ζ的分布列和数学期望．23.(本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，△ABP是等边三角形，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝90°，AD∥BC，E是线段AB的中点，PE⊥底面ABCD，已知DA＝AB＝2BC＝2.(1)求二面角PCDA的正弦值；(2)试在平面PCD上找一点M，使得EM⊥平面PCD.2018届无锡高三年级第一次模拟考试数学参考答案1.32.63.474.1125.216.50π7.58.π69.102410.1911.812.613.(－2，0)14.(－∞，－1]∪72，＋∞15.解析：(1)因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC.(2分)因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.(4分)因为DE∩BD＝D，(5分)所以AC⊥平面BDE.(6分)(2)设AC∩BD＝O，取BE的中点G，连结FG，OG，所以OG∥12DE且OG＝12DE.(8分)因为AF∥DE，DE＝2AF，所以AF∥OG且AF＝OG，从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥AO.(10分)因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF.(14分)16.解析：(1)因为cosA＝34，所以cosC＝cos2A＝2cos2A－1＝2×342－1＝18.(3分)在△ABC中，因为cosA＝34，所以sinA＝74.(4分)因为cosC＝18，所以sinC＝1－182＝378，(5分)所以cosB＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝916.(7分)(2)根据正弦定理asinA＝csinC，所以ac＝23.又ac＝24，所以a＝4，c＝6.(10分)b2＝a2＋c2－2accosB＝25，b＝5.所以△ABC的周长为15.(14分)17.解析：(1)由题意，∠CAP＝π3－θ，所以CP︵＝π3－θ，又PQ＝AB－APcosθ＝1－cosθ，所以观光专线的总长度f(θ)＝π3－θ＋1－cosθ＝－θ－cosθ＋π3＋1，0θπ3.(3分)因为当0θπ3时，f′(θ)＝－1＋sinθ0，(5分)所以f(θ)在0，π3上单调递减，即观光专线CP︵PQ的总长度随θ的增大而减小．(6分)(2)设翻新道路的单位成本为a(a0)，则总成本g(θ)＝aπ3－θ＋2－2cosθ＝a－θ－2cosθ＋π3＋2，0θπ3，(8分)g′(θ)＝a(－1＋2sinθ)．(9分)令g′(θ)＝0，得sinθ＝12.因为0θπ3，所以θ＝π6.(10分)当0θπ6时，g′(θ)0，当π6θπ3时，g′(θ)0，(12分)所以当θ＝π6时，g(θ)最小．(13分)故当θ＝π6时，观光专线CP︵PQ的修建总成本最低.(14分)18.解析：(1)因为椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，所以a2＝2c2，b＝c，(1分)所以直线DB的方程为y＝－22x＋b，又O到直线BD的距离为63，所以b1＋12＝63，所以b＝1，a＝2，(3分)所以椭圆E的方程为x22＋y2＝1.(4分)(2)设P(2，t)，t0，直线PA的方程为y＝t22(x＋2)，(5分)由x22＋y2＝1，y＝t22（x＋2），整理得(4＋t2)x2＋22t2x＋2t2－8＝0，解得xC＝42－2t24＋t2，则点C的坐标是42－2t24＋t2，4t4＋t2，(7分)因为三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积，所以三角形AOC的面积等于三角形BPC的面积，S△AOC＝12×2×4t4＋t2＝22t4＋t2，S△PBC＝12×t×2－42－2t24＋t2＝2t34＋t2，则2t34＋t2＝22t4＋t2，解得t＝2.(9分)所以直线PA的方程为x－2y＋2＝0.(10分)(3)因为B(2，0)，P(2，t)，C(42－2t24＋t2，4t4＋t2)，所以BP的垂直平分线为y＝t2，BC的垂直平分线为y＝2t2x－2tt2＋4，所以过B，C，P三点的圆的圆心为(t2＋82（t2＋4），t2)，(12分)则过B，C，P三点的圆方程为x－t2＋82（t2＋4）2＋y－t22＝t42（t2＋4）2＋t24，(14分)即所求圆方程为x2－2t2＋82t2＋4x＋y2－ty＋8t2＋4＝0.(16分)19.解析：(1)因为1－1a11－1a2…1－1an＝1an，n∈N*，所以当n＝1时，1－1a1＝1a1，a1＝2，(1分)当n≥2时，由1－1a11－1a2…1－1an＝1an和1－1a11－1a2…1－1an－1＝1an－1，两式相除可得1－1an＝an－1an，即an－an－1＝1(n≥2)，所以数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列.于是，an＝n＋1.(4分)(2)因为ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，所以ap＋Sq＝60，apSq＝182，于是ap＝6，Sq＝54或ap＝54，Sq＝6.(7分)当ap＝6，Sq＝54时，p＋1＝6，（q＋3）q2＝54，解得p＝5，q＝9，当ap＝54，Sq＝6时，p＋1＝54，（q＋3）q2＝6，无正整数解，所以p＝5，q＝9.(10分)(3)假设存在满足条件的正整数k，使得akak＋1＋16＝am(m∈N*)，则（k＋1）（k＋2）＋16＝m＋1，平方并化简得(2m＋2)2－(2k＋3)2＝63，(11分)则(2m＋2k＋5)(2m－2k－1)＝63，(12分)所以