1.1.1--任意角

第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角跳水运动员向内、向外转体两周半，这是多大角度?提示：900°体操中有转体两周或转体两周半，如何度量这些角度呢？提示：角的范围需要扩展经过1小时，秒针、分针各转了多少度？提示：21600°，360°.在齿轮转动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60°所形成的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？提示：不相等60°60°1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念.2.学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义.(重点)3.掌握终边相同角的表示方法，会用角的集合表示一些实际问题中的角．(难点）思考2：想想用什么办法才能推广到任意角?提示：关键是用运动的观点来看待角的变化.思考1：上述这些例子有的角不仅不在0°～360°范围内，而且有方向,如何解决这一问题呢?提示：将角的概念及范围推广.微课1任意角的概念平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.1.角的概念的推广OAB始边终边顶点2.角的构成要素始边终边顶点ABO旋转方向这样，我们就把角的概念推广到了任意角.正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：一条射线没有作任何旋转形成的角任意角规定：喜羊羊步行从家里到草原学校去上学，一般需要10分钟，则10分钟时间，钟表的分针走过的角度是()A．30°B．－30°C．60°D．－60°D【即时训练】oyx思考：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？提示：x轴上、y轴上或者x轴、y轴之间的区域内微课2象限角象限角的概念角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角；角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.-50°xyOxyO210°-450°xyO405°xyO-200°xyO第四象限角第一象限角第三象限角第二象限角不属于任何象限的角提示：下列各角：-50°，405°，210°,-200°，-450°分别是第几象限角？【即时训练】1.锐角与第一象限角是什么关系？2.钝角与第二象限角是什么关系？锐角一定是第一象限角，第一象限角不一定是锐角.钝角一定是第二象限角，第二象限角不一定是钝角.提示：3.第二象限角一定比第一象限角大吗？象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.【易错点拨】设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()A．A＝BB．B＝CC．A＝CD．A＝D【解析】锐角θ满足0°θ90°；而B中θ90°，可以为负角；C中θ满足k·360°θk·360°＋90°，k∈Z；D中满足0°θ90°，故A＝D.D【即时训练】思考1：-32°，328°，-392°是第几象限角？这些角有什么内在联系？－32°-392°xyo328°提示：-32°，328°，-392°都是第四象限的角，它们的终边相同.微课3终边相同的角思考2：所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？ooS-32k360,kZ提示：思考3：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？提示：S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍下列各角中，与角330°的终边相同的角是()A．510°B．150°C．－150°D．－390°D【规律方法】与330°相差360°的整数倍。【即时训练】例1.在0°～360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.关键是通过加减360°的整数倍，在0°～360°范围内找到终边相同的角.【解析】∵-950°12′=129°48′-3×360°,∴在0°～360°范围内,与-950°12′角终边相同的角是129°48′,它是第二限角.1.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角：①1110°②-1234°③665°④-540°48'【解析】①1110°=30°+3×360°与30°的角终边相同，是第一象限角②-1234°=206°+(-4)×360°与206°的角终边相同，是第三象限角③665°=305°+360°与305°的角终边相同，是第四象限角④-540°48'=179°12'+(-2)×360°与179°12'的角终边相同，是第二象限角【变式练习】2.如果α，β终边相同，则α-β的终边落在（）A.X轴的正半轴上B.X轴的负半轴上C.y轴的正半轴上D.y轴的负半轴上A思考4：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？提示：终边在x轴正半轴：α=k·360°，k∈Z；终边在x轴负半轴：α=180°＋k·360°，k∈Z；终边在y轴正半轴：α=90°＋k·360°，k∈Z；终边在y轴负半轴：α=270°＋k·360°，k∈Z.例2.写出终边在y轴上的角的集合.【解析】在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角（如图）.因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°，k∈Z},而所有与270°角终边相同的角构成集合S2={β|β=270°+k·360°，k∈Z},于是，终边在y轴上的角的集合S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z}={β|β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=90°+（2k+1）180°，k∈Z}={β|β=90°+n·180°，n∈Z}.已知角α是第三象限角,则角-α的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限B【变式练习】例3.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来.解：如图，在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴的夹角是45°,在0°～360°范围内，终边在直线y=x上的角有两个：45°,225°.因此，终边在直线y=x上的角的集合S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}={β|β=45°+k·180°,k∈Z}S中适合不等式-360°≤β720°的元素是45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°,45°+2×180°=405°,45°+3×180°=585°.思考是如何变换的？已知角α的终边在如图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么α∈______________________________________.xyOθ{k180180k180,kZ}-θ【变式练习】1.若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在()A．第一或第三象限B．第二或第三象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限A2.若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解析】特殊值法，给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α在第三象限．C3.与405°角终边相同的角是()A．k·360°－45°，k∈ZB．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°，k∈ZC4.与-1778°的终边相同且绝对值最小的角是________。22°5.在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________(错误说法的序号都写上)．①③④6．如果θ为小于360°的正角，θ的4倍角的终边与θ的终边重合，求θ的值．【解析】依题意4θ＝k·360°＋θ，且0°θ360°，∴θ＝k·120°.取k＝1或k＝2，∴θ＝120°或θ＝240°.【解题关键】由θ的4倍角与θ的终边相同列出方程回顾本节课的收获角的概念的推广任意角的概念象限角终边相同的角的表示把学问过于用作装饰是虚假；完全依学问上的规则断事是书生的怪癖.——培根