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定义:设离散型随机变量X的分布律为:kkpxXP}{,,2,1k,若级数1ikkpx绝对收敛,则称级数1ikkpx的和为随机变量X的数学期望。记为EX,即EX=1kkkpx。1)数学期望4.随机变量的数字特征按规定,火车站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立,其规律为:到站时间8:10,9:108:30,9:308:50,9:50概率1/63/62/6例12:解:设旅客的候车时间为X(以分记)(1)X的分布律:X103050P1/63/62/6EX=10*(1/6)+30*(3/6)+50*(2/6)=33.33(分)(1)旅客8:00到站,求他侯车时间的数学期望。(2)旅客8:20到站,求他侯车时间的数学期望。X1030507090P3/62/6(1/6)*(1/6)(3/6)*(1/6)(2/6)*(1/6)EX=10*(3/6)+30*(2/6)+50*(1/36)+70*(3/36)+90*(2/36)=27.22(分)到站时间8:10,9:108:30,9:308:50,9:50概率1/63/62/6(2)旅客8:20分到达X的分布率为设连续型随机变量X的概率密度为)(xf,若积分dxxxf)(绝对收敛,则称积分dxxxf)(的值为X的数学期望。记为EX=dxxxf)(,数学期望也称为均值。数学期望的性质b)E(cX)=cE(X),c是常数,a)Ec=c,c是常数,若bXa,则aEXb()c)若x,y独立,则E(XY)=E(X)E(Y)11()nniiiiiiEaXaEX一般地2)随机变量函数的数学期望设X是一个随机变量,()gx是任意实函数,则()YgX是随机变量X的函数,也是一个随机变量。当X为离散型随机变量,概率分布为{}(1,2,)kkPXxpk若级数1()kkigxp绝对收敛,则称1()kkigxp的和为随机变量()YgX的数学期望。当X为连续型随机变量,概率密度为()fx若广义积分()()gxfxdx绝对收敛,则称()()gxfxdx的值为随机变量()YgX的数学期望。例13:设随机变量X的概率密度为23,02()80,xxfx其它求随机变量函数1Y=X的数学期望。定义:设X是一个随机变量,若E{[X-E(X)]2}∞,E{[X-E(X)]2}为X的方差.则称3)方差D(X)=)(XD称为X标准差.)(XD1,kkp2)(XExkX为离散型,P{X=xk}=pk.)(dxxf2)(XExX为连续型,X~f(x)简化公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2展开D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)=E(X2)-[E(X)]2利用期望性质-2[E(X)]2+[E(X)]2证:例14.要在甲乙两射手之间选送一个人去参加奥运会,送谁去参加奥运会更合理呢?已知两人的射击成绩的分布律分别为:2.0X678910kP1.01.02.04.0Y678910kP2.02.01.01.04.0首先评选的指标是平均成绩)(XE)(YE2.0101.094.081.072.068)()(YEXE2.0X678910kP1.01.02.04.0Y678910kP2.02.01.01.04.01.0682.074.082.091.010评选的第二个指标是方差)(XD2.1)(YD2.0)810(1.0)89(4.0)88(1.0)87(2.0)86(222228.1送甲去参加奥运会更合理。D(X)=E[X-E(X)]22.0X678910kP1.01.02.04.0Y678910kP2.02.01.01.04.01.0)86(22.0)87(21.0)810(24.0)88(22.0)89(2a)设C是常数,则D(C)=0b)若C是常数,则D(CX)=c)若X1与X2独立,则][1niiXD可推广为:若X1,X2,…,Xn相互独立,则D(X1+X2)=D(X1)+D(X2);niiXD1)(C2D(X);方差的性质两点分布二项分布泊松分布离散型)1()(pnpXD10),,(~ppnBX其中0)(~,其中PX)1()(ppXD)(XD4)常见分布的数学期望和方差pXPpXP)1(,1)0(pXE)(npE(X))(XE2)(baXE)(XE若X服从则),,(2N)(XE若X服从参数为的指数分布,则连续型若X~U[a,b],即X服从[a,b]上的均匀分布,则12)()(2abXD2)(XD2)(XD四数理统计的基本概念(1)总体和样本总体:研究对象的某项数量指标的值的全体。个体:总体中的每个元素为个体。容量:总体中所包含的个体的个数。按此分为有限总体和无限总体。例如:某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体,每一个灯泡的寿命是一个个体;某学校男生的身高的全体一个总体,每个男生的身高是一个个体。1、基本概念定义:设X是具有分布函数F的随机变量,若nXX,1是具有同一分布函数F的相互独立的随机变量,则称为从总体X中得到的容量为n的简单随机样本,简称为样本,其观察值称为样本值。nxx,1nXX,1(2)统计量定义:设为来自总体X的一个样本,g是的函数,若g是连续函数,且g中不含任何未知参数;nXX,1nXX,1),(1nXX是一个统计量。则称),1(nXXg的观察值。是则称),(),(11nnXXgxxg的样本值。是相应于样本),(1nXXnxx,1设常用的统计量niiXnX11样本均值:niiniiXnXnXXnS122122][11)(11样本方差:它反映了总体均值的信息它反映了总体方差的信息它反映了总体k阶矩的信息,2,11)(1kXnAknikik矩:原点阶样本niiXXnSS122)(11样本标准差:,2,1)(11kXXnBknikik阶中心矩:样本它们的观察值分别为:niixnx11][11)(11122122niiniixnxnxxnsniixxns12)(112,1,11kxnanikik2,1,)(11kxxnbnikik分别称为样本均值、样本方差、样本k阶矩、样本标准差、样本k阶中心矩。定义:统计量是样本的函数,它是一个随机变量,统计量的分布称为抽样分布。(3)抽样分布2)常用统计量的分布分布2的样本,为来自于正态总体设)1,0(),(1NXXn2212nXX则称统计量:)(~222nn记为分布。的是所服从的分布为自由度分布的性质:2独立,则有,且2221222212210),(~),(~.1nn)(~2122221nnnDnE2,.2220分布t).(~T,),(~),1,0(~2ntTtnnYXYXnYNX分布,记作的是所服从的分布为自由度称随机变量独立,则)}({)10(nttP,称满足条件:对于给定的。分位点上分布的为的点tnt)()()(1ntnt:由概率密度的对称性知.)(45zntn时,当)(nt)(1nt3)正态总体的样本均值与样本方差的分布:).,(~).1(2nNX221,),(,,.SXNXXn的样本,是总体设)1(~)1().2(222nSn独立。与2).3(SX定理方差,则有:分别是样本均值与样本)1(~/)4(ntnSX这类问题称为参数估计.五、参数估计X1,X2,…,Xn要依据该样本对参数作出估计.现从该总体抽样,得样本设有一个统计总体,总体的分布函数为F(x,),其中为未知参数.1、点估计是待估参数。的形式为已知,的分布函数设总体);(xFX是相应的样本值。的一个样本,是nnxxXXX11。来估计未知参数,用它的观察值构造一个适当的统计量),,(ˆ),,(11nnxxXX。估计值为;称估计量的为我们称),,(ˆ),,(11nnxxXX(1)矩估计法),,,;(}{),,,;(11kkxPxXPXxfX分布列为为离散型随机变量,其概率密度为为连续型随机变量,其设的样本。为来自,是待估参数其中XXXnk,,,,,11存在。设.,,2,1,klEXllnililXnA11则klAll,,1,令。,,从中解出方程组的解的联立方程组,,,个未知参数这里是包含kkkˆˆ11。矩估计法估计量的方法称为的估计量,这种求,,分别作为,,用kk11ˆˆ这种估计量称为矩估计量;矩估计量的观察值称为矩估计值。例15设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从(用矩法)。试估计参数未知,有以下样本值;的泊松分布,参数为250126225490756543210knkk次着火天数发生着火的次数niiXXnAEX1111解:22.1)16901750(2501ˆ,xX则令。估计值所以22.1ˆ,X(2)极大似然估计法可能取值的范围。是为待估参数,的形式为已知,属离散型,其分布律若总体),;(}{).1(xpxXPX的联合分布律:的样本;则是来自设nnXXXXX,,,,11niixp1);(11,,,,nnxxXX又设是的一个样本值,则事件11{,,}nnXxXx发生的概率为:11()(,,;)(;),.nniiLLxxpx()L是的函数,称为样本的似然函数。11,,;ˆ(,,;)ˆnnxxLxx极大似然估计法:固定挑选使概率达到最大的参数,作为的估计值,即取使得:11ˆ(,,;)max(,,;)nnLxxLxx11ˆˆ,,(,,);nnxxxx与有关,记为称其为参数的极大似然估计值。。极大似然估计量的称为参数),,(ˆ1nXX11()(,,;)(;),nniiLLxxfx为样本的似然函数,若11ˆ(,,;)max(,,;)nnLxxLxx1ˆ(,,)nxx则称为的极大似然估计值,而1ˆ(,,)nXX为的极大似然估计量。(2)(;),Xfx若总体属连续型,其概率密度的形式已知,为待估参数,称()ln()ln()0.LLdLd又因与在同一处取到极值,因此的极大似然估计也可从下述方程解得:个参数,若母体的分布中包含多.,,1,0ln.,,1,0kiLkiLii或即可令的极大似然估计值。个方程组求得解kk,,1221.~(,);,,,nXNxxX例16设为未知参数,是来自的一个样本值,的极大似然估计量。求:2,的概率密度为:解:X})(21exp{21),;(222xxf似然函数为:niixL1222})(21exp{21),(niixnnL122)(21)ln(2)2ln(2ln0)()2(12n-0][10ln0ln21222122niiniixnxLL即:令niiniiXXnxxn1221)(1ˆ1ˆ解得:(3)估计量的评选标准.ˆ),,(ˆˆ)11EXXn且的数学期望存在,无偏性:若的无偏估计量。是则称ˆ).ˆD()ˆD(),,(ˆˆ),,(ˆˆ)221122
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