江苏省东海高级中学2015届高三1月周练数学试题

第1页注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题，共14题）、解答题（第15题～第20题，共6题）两部分。本次考试时间为120分钟。2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。3、作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。4、如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。东海高级中学高三年级第一学期1月份周考数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题．．卡相应位置．．．．．上．1．已知集合1,0,2,2aAB，若BA,则实数a的值为▲.2．设i为虚数单位，则复数z(13)ii的实部为▲.3．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是▲.4．为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高三男生的体重.根据抽样测量后的男生体重（单位：kg）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是▲.5．如图所示的流程图，若输入x的值为－5.5，则输出的结果c▲.6．已知集合A{|12}xx，集合{|}Bxaxa.若命题“xA”是命题“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是▲.7．函数()sin3cos(0)-，fxxxx的单调增区间是▲．（第4题）第2页ACDEB8．圆心在抛物线22xy上，并且和抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为▲．9．已知正四棱锥的底面边长是6，高为7，这个正四棱锥的侧面积是▲．10．在△ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，若sin3sinAC，30B，2b，则△ABC的面积是▲．11．已知点P在直线21yx上，点Q在曲线lnyxx上，则P、Q两点间距离的最小值为▲.12．如图，在等腰三角形ABC中，底边2BC，1,2ADDCAEEB，若12BDAC，则CEAB=▲．13．设数列na为等差数列，数列nb为等比数列．若12aa，12bb，且2iiba（1i，2，3），则数列nb的公比为▲.14．设,xy是正实数，且1xy，则2221xyxy的最小值是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．（1）求证：FG//平面PBD；（2）求证：BD⊥FG．16．（本小题满分14分）如图所示，A、B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，AOP（0），点C坐标为(2,0)，平行四边形OAQP的面积为S．（1）求tOAOQS的最大值；（2）若CB∥OP，求sin(2)3．xyAOQPCB第3页17.（本小题满分14分）在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为2cv(c为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为2v(米/单位时间),单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y.(1)将y表示为v的函数;(2)设0v≤5,试确定下潜速度v,使总的用氧量最少.18．（本小题满分16分）已知直线220xy经过椭圆2222:1xyCab（0ab）的左顶点A和上顶点D．椭圆C的右顶点为B，点E是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AE、BE与直线:l103x分别交于M、N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求线段MN长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，椭圆C上是否存在这样的点T，使得TBE的面积为15？若存在，确定点T的个数；若不存在，请说明理由．第4页19．(本小题满分16分)设数列na的前n项和为nS，且2(1)nnnSaS.（1）求1a；（2）求证：数列11nS为等差数列；（3）是否存在正整数m，k，使1119kkmaSa成立？若存在，求出m，k；若不存在，说明理由.20．（本小题满分16分）已知函数()2lnfxxaax，常数aR.（I）求()fx的单调区间；（II）若函数()fx有两个零点1x、2x，且12xx.（1）指出a的取值范围，并说明理由；（2）求证：3128xxa.第5页东海高级中学高三1月周测数学参考答案1、12、-33、124、405、16、[2,)7、,068、121122yx9、4810、311、25512、4313、32214、1415、证明：（1）连接PE，G.、F为EC和PC的中点，//,PBDPEPBDFGPEFG平面，平面，FG//平面PBD…………6分（2）因为菱形ABCD，所以BDAC，又PA⊥面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA，因为PA平面PAC，AC平面PAC，且PAACA，BD平面PAC，FG平面PAC，BD⊥FG………………………………………………14分16、（1）∵(1,0)OA，(cos,sin)P，∴(1cos,sin)OQ，∴1cosOAOQ，而12||||sinsin2SOAOP，所以1cossin12sin()4tOAOQS，………………………………4分∵0，∴当4时，tOAOQS取得最大值为12；………………………7分（2）(2,1)CB，(cos,sin)OP，由CB∥OP得cos2sin，又0，结合22sincos1得5sin5，25cos5，4sin25，3cos25，……………………11分所以sin(2)3433sin2coscos2sin3310．………………………14分17.第6页18、（1）令0x得1y，所以(0,1)D，所以1b，令0y得2x，所以(2,0)A，所以2a，所以椭圆C的标准方程为2214xy；……………………………………………4分（2）显然直线AE的斜率存在且为正数，设直线AE的方程为(2)ykx（0k），联立得(2)103ykxx，解得1016(,)33kM，由22(2)44ykxxy得2222(14)161640kxkxk，---6分显然16，由求根公式得22221616282(14)14kkxkk或22221616282(14)14kkxkk（舍），所以222284(,)1414kkEkk，从而直线BE的方程为1(2)4yxk，联立得1(2)4103yxkx，解得101(,)33Nk，所以1611618233333kkMNkk，当且仅当14k时取“”，因此，线段MN长度的最小值为83；……………………………………………………………10分（3）由（2）知，14k时线段MN的长度最小，此时64(,)55E，425BE，因为TBE的面积为S15，所以点T到直线BE的距离为224SdBE，因为直线BE的方程为20xy，设过点T且与直线BE平行的直线m的方程为0xyt(2)t，由两平行线之间距离为24得|2|242t，解得32t或52t，当32t时，直线m的方程为302xy，联立得2230244xyxy，消去y得251250xx，显然判别式0，故点T有2个；第7页当52t时，直线m的方程为502xy，联立得2250244xyxy，消去y得2520210xx，显然判别式0，故点T不存在．所以，椭圆C上存在两个点T，使得TBE的面积为15．…………………………………16分19、解：（I）n=1时，2211(1),aa112a…………………………………………2分（II）2(1)nnnSaS2n时21(1)()nnnnSSSS121nnnSSS-----------4分11(1)nnnSSS11-1-1nnnSSS………………………6分111111111-1-1nnnnnnnSSSSSSS为定值，11nS为等差数列…………8分（Ⅲ）1121a12(1)(1)11nnnS1nnSn2(1)1(1)nnnSaSnn……………………………………10分假设存在正整数m，k，使1119kkmaSa，则2(1)(1)19kmm………12分24(1)4(1)76kmm[(22)(21)][(22)(21)]75kmkm[(223)(221)75751253155kmkm223752211kmkm或223252213kmkm或223152215kmkm1818km或65km或42km.…………………………………………………………16分20.解：（I）①0a时，()2lnfxxaax（0x），'()10afxx()fx在(0,)递增；②0a时，2ln,02()2ln,2axaxxafxxaaxxa1,02()1,2axaxfxaxax()fx在(0,2)a递减，在(2,)a递增。第8页综上，0a时()fx在(0,)递增；0a时()fx在(0,2)a递减，在(2,)a递增。………4分（II）（1）由（I）知0a，此时()fx在(0,2)a递减，在(2,)a递增，由题，首先(2)ln20faaa12a…………………………………6分下证12a时()fx在(0,2)a和(2,)a各有一个零点：①12ae时，()ln(1ln)0faaaaaa，(2)0fa1(,2)xaa33332()2ln5(5)0feeaaeeaae(2)0fa32(2,)xae②ae时，()2ln2()0feaeaeae，(2)0fa1[,2)xea22222()|2|ln|2|2aaaafeeaaeeaa令2()2()apaeaae，2'()220apae，所以2()()20epapeee222()22aafeeaa令22()22()aqaeaaae，2'()224aqaea()ae，2('())'440aqae22'()'()2242(12)0eeqaqeeeee所以222()()222(1)eeqaqeeeeeee52(1)eee0即2()0afe(2)0fa22(2,)axae,得证。综上，1.2a……………………………………10分（2）要证3128xxa，因为1(0,2)xa，只要证224xa，即证2(4)0fa事实上，222(4)|42|ln(4)faaaaa