2019年高考数学(文科)总复习专题精练：(八)椭圆、双曲线、抛物线

椭圆、双曲线、抛物线”一、选择题1．抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，若其上一点P(m,1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为()A．y＝8x2B．y＝16x2C．x2＝8yD．x2＝16y解析：选D根据题意知，点P(m,1)在x轴上方，则抛物线开口向上，设其标准方程为x2＝2py，其准线方程为y＝－p2，由点P到焦点的距离为5，得1－－p2＝5,解得p＝8，则抛物线的标准方程为x2＝16y.2．椭圆x216＋y2m＝1的焦距为27，则m的值为()A．9B．23C．9或23D．16－7或16＋7解析：选C由椭圆x216＋y2m＝1的焦距为27，可得，216－m＝27或2m－16＝27，解得m＝9或23.3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝()A．9B．8C．7D．6解析：选B抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.4．若双曲线C：x24－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，满足PF1―→·PF2―→＝0的点P依次记为P1，P2，P3，P4，则四边形P1P2P3P4的面积为()A.855B．25C.865D．26解析：选C设P(x，y)，由已知得F1(－5，0)，F2(5，0)，则(－5－x，－y)·(5－x，－y)＝x2－5＋y2＝0，即x2＋y2＝5，与双曲线方程x24－y2＝1联立，可得交点分别为2305，55，－2305，55，－2305，－55，2305，－55，它们构成一个长为4305，宽为255的长方形，所以四边形P1P2P3P4的面积为4305×255＝865.5．若双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为10，则其渐近线方程为()A．y＝±3xB．y＝±12xC．y＝±2xD．y＝±13x解析：选D因为双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为10，所以e＝ca＝10，即e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝10，所以ba＝3.因为双曲线y2a2－x2b2＝1的焦点在y轴上，其渐近线方程为y＝±abx，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±13x.6．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为43，则椭圆C的方程为()A.x23＋y22＝1B.x23＋y2＝1C.x212＋y28＝1D.x212＋y24＝1解析：选A由椭圆的性质知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又∵|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝43，∴a＝3.又e＝33，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为x23＋y22＝1.7．已知双曲线x212－y24＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是()A.－33，33B.()－3，3C.－33，33D.[]－3，3解析：选C由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±33x.当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.8．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为()A.12B.22C．1D.2解析：选B如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义可得，|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.设|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝π4，在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cosπ4，化简得：(2－2)a21＋(2＋2)a22＝4c2，即2－2e21＋2＋2e22＝4.又∵2－2e21＋2＋2e22≥222－2e1·e2＝22e1·e2，∴22e1·e2≤4，即e1·e2≥22，∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22.二、填空题9．(2017·北京高考)若双曲线x2－y2m＝1的离心率为3，则实数m＝________.解析：由双曲线的标准方程可知a2＝1，b2＝m，所以a＝1，c＝1＋m，所以e＝1＋m1＝3，解得m＝2.答案：210．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x2a2－y29＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝35x，则a＝________.解析：∵双曲线的标准方程为x2a2－y29＝1(a＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±3ax.又双曲线的一条渐近线方程为y＝35x，∴a＝5.答案：511．与椭圆x29＋y24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程为__________．解析：由椭圆x29＋y24＝1，得a2＝9，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝5，∴该椭圆的焦点坐标为()±5，0.设所求椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，a＞b＞0，则c＝5，又ca＝55，得a＝5，∴b2＝25－5＝20.∴所求椭圆方程为x225＋y220＝1.答案：x225＋y220＝112．(2018·西安中学模拟)如图，过抛物线y＝14x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1交于A，B，C，D四点，则AB―→·DC―→＝________.解析：不妨设直线AB的方程为y＝1，联立y＝1，y＝14x2，解得x＝±2，则A(－2,1)，D(2,1)，因为B(－1,1)，C(1,1)，所以AB―→＝(1,0)，DC―→＝(－1,0)，所以AB―→·DC―→＝－1.答案：－1三、解答题13．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，且函数y＝x2－6516的图象与椭圆C仅有两个公共点，过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P为线段MN的中垂线与椭圆C的一个公共点，求△PMN面积的最小值，并求此时直线l的方程．解：(1)由题意可得，2b＝2，所以b＝1.联立x2a2＋y2＝1(a＞1)与y＝x2－6516，消去y，整理得x4＋1a2－658x2＋81×49162＝0，根据椭圆C与抛物线y＝x2－6516的对称性，可得Δ＝1a2－6582－4×81×49162＝0，a＞1，解得a＝2.∴椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.(2)①当直线l的斜率不存在时，S△PMN＝12×2b×a＝2；当直线l的斜率为0时，S△PMN＝12×2a×b＝2；②当直线l的斜率存在且不为0时．设直线l的方程为y＝kx，由y＝kx，x24＋y2＝1，解得x2＝41＋4k2，y2＝4k21＋4k2.∴|MN|＝2x2＋y2＝41＋k21＋4k2.由题意可得，线段MN的中垂线方程为y＝－1kx，联立y＝－1kx，x24＋y2＝1，可得x2＝4k2k2＋4，y2＝4k2＋4.∴|OP|＝x2＋y2＝21＋k2k2＋4.∴S△PMN＝12·|MN|·|OP|＝41＋k21＋4k2k2＋4≥41＋k21＋4k2＋k2＋42＝85，当且仅当k＝±1时取等号，此时△PMN的面积的最小值为85.∵285，∴△PMN的面积的最小值为85，直线l的方程为y＝±x.14.已知点F为抛物线E：y2＝2px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋p2.因为|AF|＝3，即2＋p2＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±22.由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝22(x－1)．由y＝22x－1，y2＝4x，得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝12，从而B12，－2.又G(－1,0)，所以kGA＝22－02－－1＝223，kGB＝－2－012－－1＝－223，所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．