导数高考题

高考题选讲导数是中学数学的新增内容,是高等数学的基础内容,它在中学数学教材中的出现,使中学数学与大学数学之间又多了一个无可争辩的衔接点.今后的高考对这部分内容的考查将仍然会以导数的应用题为主,如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题及曲线的问题等.考题不难,侧重知识之意,这也是命题者为使这部分内容在中学占据一席之地的良苦用心.考查的题型有选择题、填空题也有解答题.解答题多以数列、函数、解析几何、不等式等高中主干内容为载体.这里,我们对前几年高考中的解答题给以分析,使同学们了解高考考什么,怎样考.1.2000—新课程卷—文史类(20),理工类(19):设函数,其中a0.(Ⅰ)解不等式:f(x)≤1;(Ⅱ)求a的取值范围,使函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调函数.(文史类第(Ⅱ)问:证明:当a≥1时,函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调函数)．axxxf1)(2注:此题第(Ⅰ)问,已超过了目前的教学范围,在此我们不加以讨论.(Ⅱ):,1)(2axxxf注意到x∈[0,+∞)时,.112xx因此当a≥1时,恒成立,故f(x)在[0,+∞)上为减函数.0)(xf又当0a1时,因为x∈[0,+∞),由可得由可得可见f(x)在[0,+∞)上不具有单调性.,10)(2aaxxf,100)(2aaxxf综上所述,所求a的取值范围是[1,+∞).2.2000—新课程卷—文史类(21),理工类(20):用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.解:设容器底面短边长为xm,则另一边长为(x+0.5)m,容器的高为[14.8-4x-4(x+0.5)]/4=3.2-2x.由问题的实际意义,要求x0,3.2-2x0,解得x的取值范围是0x1.6.记容器的容积为ym3,则y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0x1.6).即有y=-2x3+2.2x2+1.6x(0x1.6).求导数得.6.14.462xxy令,得15x2-11x-4=0,解得x1=1,x2=-4/15(不合题意,舍去).0y所以在定义域(0,1.6)内,只有x=1使导数为0,且当x值接近0或1.6的一端时,y值都很小(接近0).因此,当x=1时,y取最大值,得y最大=-2+2.2+1.6=1.8,这时容器的高为3.2-2x=1.2.3.2001—新课程卷—文史类(21):已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试确定a、b的值,并求出f(x)的单调区间.注:此题为p.252课后强化训练第8题.解:由已知得:.21310263)1(1231)1(babafbaf.123)(,)(223xxxfxxxxf由得;由得1310)(xxxf或.1310)(xxf故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1/3)和(1,+∞),单调递减区间是(-1/3,1).4.2001—新课程卷—理工类(19)设a0,是R上的偶函数．(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数.xxeaaexf)(注:此题为p.248课后强化训练第14题.解:(1)依题意有f(-x)=f(x),即,1xxxxxxeaaeaeaeeaae可得对一切x∈R有.01,0)1)(1(aaeeaaxx注意到a0,得a=1.(2)).1()(,)(2xxxxxxeeeexfeexf当x∈(0,+∞)时,e-x0,e2x1,.0)(xf故f(x)在(0,+∞)上是增函数.5.2002—新课程卷—文史类(21)已知a0,函数f(x)=x3-a,x∈[0,+∞).设x10,记曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l.(Ⅰ)求l的方程；(Ⅱ)设l与x轴的交点为(x2,0),证明①②若,则;312ax.1231311xxaax此题的证明完全可以仿照下一题(当年的理科题)的证明过程.留给同学们课后自己完成.6.2002—新课程卷—理工类(20)已知a0,函数,设0x12/a,记曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l.(Ⅰ)求l的方程；(Ⅱ)设l与x轴的交点为(x2,0),证明①0x2≤1/a;②若x11/a则x1x21/a.),0(,1)(xxaxxf解(Ⅰ):;1)(2xxf故l的方程是:).(1112111xxxxaxy(Ⅱ):在l的方程中令y=0得:x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1),其中0x12/a.①由0x12/a,x2=x1(2-ax1),有x20.又.11)1(212aaaxax所以0x2≤1/a,当且仅当x1=1/a时,x2=1/a.②当x11/a时,ax11,因此,x2=x1(2-ax1)x1.又由①知,x21/a;所以,x1x21/a.解:).0(121)(xaxxxf从而易知当a0,x0时,有:.0)42(0)(;0)42(0)(2222axaxxfaxaxxf由于Δ=(2a-4)2-4a2=16(1-a).故有:(1)当a1时,Δ0,所以对所有x0,有x2+(2a-4)x+a20,即恒成立,故此时f(x)在(0,+∞)内单调递增.0)(xf(2)当a=1时,Δ=0,可得对x≠1,有x2+(2a-4)x+a20,即恒成立,故此时f(x)在(0,1)和(1,+∞)内单调递增.0)(xf7.2003—新课程卷—理工类(19)设a0,求函数f(x)=-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间.x又知函数在x=1处连续,因此,函数在(0,+∞)内单调递增.(3)当a1时,Δ0,令,即x2+(2a-4)x+a20,解得0)(xf.122122aaxaax或因此,函数f(x)在区间内单调递增,在区间也内单调递增.)122,0(aa),122(aa令,即x2+(2a-4)x+a20,解得:.122122aaxaa0)(xf因此,函数f(x)在区间内单调递减.)122,122(aaaa8.2003—江苏(21)已知a0,n为正整数.(1)设y=(x-a)n,证明(2)设fn(x)=xn-(x-a)n,对任意n≥a,证明;)(1naxny)1(1nfn).()1(nfnn证:(1)因为,)()(1nkkknknnxaCax.)()()(1111111nnkkknknkknnkknaxnxanCxakCy(2)对函数fn(x)求导得,)()(11nnnaxnnxxf].)([)(11nnnannnnf因此,当n≥a时,(n+1)n-(n+1-a)nnn-(n-a)n.])()[1(])1()1)[(1()1(1nnnnnannnannnnf).()1(])()[1(1nfnannnnnnn由于当x≥a0时,,故当x≥a时,fn(x)是关于x的增函数.0)(xfn即对任意n≥a,).()1()1(1nfnnfnn9.2003-新课程卷-文史类(18)此题以前在上课时已经讲过,在此不再重复.导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具,得出的一般结论具有科学方法论价值,广泛运用在讨论函数图象的变化趋势及证明不等式等方面.数学知识是数学思想方法的载体,数学思想方法又是数学知识的精髓,是知识转化为能力的桥梁.因此需要提高认识及运用数学思想方法去分析问题解决问题的意识,从最基本的开始积累,不断总结经验,才能由知识型向能力型转化.