四点共圆基本判断方法(超全)

Key.四点共圆的证明五个基本判断方法：•1.若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。•2.若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。•3.若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。•4.若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。•5.同斜边的直角三角形的顶点共圆。1.若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。•如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四个点在以O为圆心的同一个圆上•分析指导：利用直角三角形斜边的中点等于斜边的一半，再利用菱形的四边相等即可证出。2.若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆•若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆•证明：用反证法过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，则C在圆外或圆内，若C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°，∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。3.若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上例如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F点。求证:C、D、E、F四点共圆。•分析:欲证C、D、E、F四点共圆，可证以该四点构成的四边形中，一组对角互补或外角等于内对角即可。•由此，连接EF构成四边形EFCD后，证明∠BFE=∠D即可。证明:连接EF，∵四边形ABFE是圆内接四边形，∴∠A+∠BFE=180°。又∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠D=180°。•∴∠BFE=∠D。∴C、D、E、F四点共圆EDACBF4.若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆。•若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆用反证法：已知：同侧△ABC和△CBD，共有底边CB，〈A=〈D，求证：A、B、C、D四点共圆证明：•假设四点不在同一圆上，作△ABC外接圆，则D点不在圆上，•因二角共用AB弧，则〈A≠D，与实际不符，所以只有D点在△ABC外接圆上，故A、B、C、D四点共圆。5.同斜边的直角三角形的顶点共圆如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，求证：A、B、C、D四点共圆.如图2，∠A=∠C=90°，求证：A、B、C、D四点共圆.•分析指导：可以直接根据圆的定义证明A、B、C、D四点到某一定点的距离相等.取斜边的中点O.，再连接A.C,利用斜边中点等于斜边一半证OA=OB=OC=OD。BCADBCAD