方程的根与函数的零点

第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点【知识提炼】1.函数的零点(1)概念:函数f(x)的零点是使_______的实数x.(2)函数的零点与函数的图象、对应方程的根的关系:x轴f(x)=0f(x)=02.函数零点的判断(1)条件:①函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是_________的一条曲线.②___________0.(2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得_______,这个c也就是方程f(x)=0的根.连续不断f(a)·f(b)f(c)=0【即时小测】1.思考下列问题:(1)函数的零点是一个点吗?提示:不是.函数的零点是一个实数,不是一个点.(2)任何函数都有零点吗?提示:不是.如果函数的图象与x轴没有交点,则该函数就没有零点,如函数f(x)=就没有零点.1x2.下列各图象表示的函数中没有零点的是()【解析】选D.由图象可知,只有选项D中的函数图象与x轴无交点.3.若4是函数f(x)=ax2-2log2x的零点,则a的值等于()A.4B.-4C.-D.【解析】选D.因为4是函数f(x)=ax2-2log2x的零点,所以a×42-2log24=0,解得a=.1414144.函数f(x)=x2-5x的零点是.【解析】令x2-5x=0,解得x1=0或x2=5,所以函数f(x)=x2-5x的零点是0和5.答案:0和5【知识探究】知识点1函数的零点观察图形,回答下列问题:问题:如图为函数f(x)在[-4,4]上的图象,根据函数的图象,你能否得出方程f(x)=0的根的个数?方程的根与对应函数的图象有什么关系?【总结提升】1.对函数零点概念的三点说明(1)函数的零点就是函数的图象与x轴交点的横坐标,函数的零点是一个实数,不是一个点.当函数的自变量取这个实数时,函数值为零.(2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的,若方程没有实数根,则函数没有零点,反映在图象上就是函数图象与x轴无交点,如函数y=5,y=x2+1就没有零点.(3)方程有几个解,则其对应的函数就有几个零点.若函数y=f(x)有零点,则零点一定在其定义域内.2.基本初等函数的零点函数零点(或零点个数)一次函数y=kx+b(k≠0)一个零点反比例函数y=(k≠0)无零点二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)Δ0两个零点Δ=0一个零点Δ0无零点指数函数y=ax(a＞0,且a≠1)无零点对数函数y=logax(a＞0,且a≠1)一个零点1幂函数y=xαα0一个零点0α≤0无零点kxbkb2ab2a知识点2函数零点的判断观察图形,回答下列问题:问题1:根据函数的图象可知函数的零点是什么?问题2:判断f(0)·f(2),f(2)·f(4)的符号如何?由此可得到函数在某一区间内存在零点应具备什么条件?【总结提升】1.函数f(x)在区间[a,b]上的零点的情况(1)有唯一零点:此时f(x)在[a,b]上与x轴有唯一公共点或f(x)在[a,b]上满足以下三条:①图象是连续不断的一条曲线;②f(a)·f(b)0;③f(x)在[a,b]上是单调函数.(2)有多个零点:此时f(x)在[a,b]上满足情况(1)中的①且图象多次与x轴相交.(3)无零点:①f(x)在[a,b]上的图象不是连续不断的,如y=在[-1,0)∪(0,1]上无零点;②f(x)在[a,b]上的最小(大)值都大(小)于零,如y=(x+1)2+1.21x2.对函数零点判断的四点说明(1)存在性:“若f(a)·f(b)0,则在区间(a,b)内方程f(x)=0至少有一个实数根”指出了方程f(x)=0的实数根的存在性.(2)唯一性:若f(a)·f(b)0,且y=f(x)在(a,b)内是单调函数,则方程f(x)=0在(a,b)内有唯一实数解.(3)两个条件:①在[a,b]上函数图象连续不断;②端点函数值异号即f(a)·f(b)0,缺一不可.如f(x)=,有f(-1)·f(1)0,但f(x)在(-1,1)上没有零点,原因是f(x)=的图象在(-1,1)上不是连续不断的.(4)不可逆性:对函数零点的判断方法,反过来不成立,即f(x)在(a,b)内存在零点,不一定有图象连续不断,也不一定有f(a)·f(b)0.1x1x【题型探究】类型一函数零点的概念及求法【典例】1.(2015·长治高一检测)函数y=4x-2的零点是()A.2B.(-2,0)C.D.2.若函数y=-x+2m的零点是2,则m=.3.(2015·临汾高一检测)若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,求a和b的值.1(,0)212【解题探究】1.典例1中要求函数的零点,只要使该函数的值怎样?提示:令y=4x-2=0,求解方程即可.2.典例2中函数的零点2如何利用?提示:将2代入该函数,此时函数值等于0,解方程即可.3.典例3中的两个零点与a,b有何关系?提示:2和3是方程x2-ax-b=0的两根,则有2+3=-(-a),2×3=-b.【解析】1.选D.令4x-2=0,解得x=,函数的零点是实数,故函数y=4x-2的零点是.2.由于函数y=-x+2m的零点是2,故-2+2m=0,解得m=1.答案:13.由函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2,3.所以2和3是方程x2-ax-b=0的两个根,由根与系数的关系可得:2+3=-(-a),2×3=-b,所以a=5,b=-6.1212【方法技巧】函数零点的求法(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点.(2)几何法:与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.【变式训练】(2015·沧州高一检测)求函数f(x)=-x2-2x+3的零点,并画出它的图象.【解题指南】解方程-x2-2x+3=0可得函数f(x)的零点,即得函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标,再求出函数图象的顶点坐标,用平滑的曲线连接这三点即可粗略地画出函数f(x)的图象.【解析】因为方程-x2-2x+3=0的两个实数根为-3,1,因此f(x)=-x2-2x+3的零点为-3,1.即f(x)的图象与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0).此函数的顶点坐标为(-1,4),图象如图:类型二确定函数零点的个数【典例】(2015·大连高一检测)求函数f(x)=ln(x-1)的零点的个数.【解题探究】典例中要求函数的零点个数,可使函数值等于多少进行求解?提示:使该函数值等于0,求方程的根即可.【解析】令f(x)=ln(x-1)=0,则有x-1=1,解得x=2,故函数f(x)=ln(x-1)的零点是2,所以函数只有一个零点.【延伸探究】1.(变换条件)若将函数改为“f(x)=ex-1”,则函数又有几个零点?【解析】令f(x)=ex-1=0,即ex=1,所以x=0,故该函数只有一个零点.2.(变换条件)若将函数改为“f(x)=ln(x-1)+0.01x”,又如何判断该函数零点的个数?【解析】方法一:因为f(3)=ln2+0.030,f(1.5)=-ln2+0.0150,所以f(3)·f(1.5)0,说明函数f(x)=ln(x-1)+0.01x在区间(1.5,3)内有零点.又y=ln(x-1)与y=0.01x在(1,+∞)上都是增函数,所以该函数只有一个零点.方法二:在同一坐标系内作出h(x)=ln(x-1)和g(x)=-0.01x的图象,由图象知h(x)=ln(x-1)和g(x)=-0.01x有且只有一个交点,即f(x)=ln(x-1)+0.01x有且只有一个零点.【方法技巧】确定函数零点个数的方法(1)利用方程的根,转化为解方程,方程有几个根相对应的函数就有几个零点.(2)利用函数y=f(x)的图象与x轴的交点的个数,从而判定零点的个数.(3)结合函数的单调性.若函数在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,利用f(a)·f(b)0,结合单调性可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数.(4)转化成两个函数图象的交点问题.【补偿训练】判断函数f(x)=x2-零点的个数.【解题指南】本题求函数的零点可直接令f(x)=x2-=0,解相应的方程即可;或转化为两个熟知的基本初等函数y=x2与y=,看两个函数图象的交点即可.1x1x1x【解析】方法一:令x2-=0,得x2=,即x3=1,解得x=1.故函数f(x)=x2-只有一个零点.1x1x1x方法二:由x2-=0,得x2=.令h(x)=x2(x≠0),g(x)=,在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象,由图可知两函数图象只有一个交点,故函数f(x)=x2-只有一个零点.1x1x1x1x【延伸探究】1.(变换条件)若将函数变为“f(x)=x2+”,判断该函数零点的个数.【解析】令f(x)=x2+=0,即x3+1=0,解得x=-1,故该函数只有一个零点.1x1x2.(变换条件)若将函数改为“f(x)=x2-lg”,又如何判断函数零点的个数?【解析】由f(x)=x2-lg=0,得x2=lg,即x2=-lgx,令h(x)=x2,g(x)=-lgx(x0),在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象,如图所示:1x1x1x由图象可知两函数图象只有一个交点,故函数f(x)=x2-lg只有一个零点.1x类型三确定函数零点所在的区间【典例】1.(2015·通化高一检测)函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是()A.(1,2)B.(2,3)C.(1,e)和(3,4)D.(e,+∞)2x2.(2015·德州高一检测)二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如下表:不求a,b,c的值,判断方程ax2+bx+c=0的两根所在区间是()A.(-3,-1)和(2,4)B.(-3,-1)和(-1,1)C.(-1,1)和(1,2)D.(-∞,-3)和(4,+∞)x-3-2-101234y6m-4-6-6-4n6【解题探究】1.典例1中可转化为哪两个函数图象来确定零点所在的区间?提示:可令lnx-=0,则lnx=,可转化为函数h(x)=lnx,g(x)=,利用其图象的交点位置进行判断.2.典例2中表中的数值如何利用?提示:观察表中的数值,可知f(-3)=60,f(-1)=-40,所以在(-3,-1)内必有根;又f(2)=-40,f(4)=60,所以在(2,4)内必有根.2x2x2x【解析】1.选B.首先结合y=lnx和y=的图象知交点只有一个,且交点横坐标在区间(1,e)上,可以排除C,D.然后由f(1)=-20,f(2)=ln2-10,f(3)=ln3-0,得f(2)·f(3)0,所以f(x)在(2,3)内有零点.2.选A.结合图表中的数据.因为f(-3)=60,f(-1)=-40,所以在(-3,-1)内必有根,又f(2)=-40,f(4)=60,所以在(2,4)内必有根.结合选项可判断选A.2x23【方法技巧】判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值.(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断.(3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.【变式训练】(2015·六安高一检测)在区间(3,5)上有零点的函数是()A.f(x)=2xln(x-2)-3B.f(x)=-x3-3x+5C.f(x)=2x-4D.f(x)=-+2【解析】选A.对于A,f(x)在(3,5)上有意义,且f(3)=-30,f(5)=10ln3-310lne-3=10-30,所以f(x)=2xln(x-2)-3在区间(3,5)上有零点.1x【补偿训练】函数f(x)=lgx-的零点所在的大致区间是()A.(6,7)B.(7,8)C.(8,9)D.(9,10)【解析】选D.因为f(6)=lg6-=lg6-0,f(7)=lg7-0,f(8)=lg8-0,f(9)=lg9-10,f(10)=lg10-0,所以f(9)·f(1