分担值集与正规函数(张海侠)

分担值集与正规函数张海侠1，郭铁信2(1.许昌学院数学与统计学院,河南许昌461000;2.中南大学数学与统计学院，湖北长沙410083)摘要：从分担值集的角度出发，研究了亚纯函数的正规性，推广了前人的结果，得到了关于正规性的一个结果.即：设ba,为两个判别的有穷复数,baS,，如果kf中所有函数kf在D内以S为IM分担值集.，则kf在D内正规.关键词：亚纯函数；分担值；正规族中图分类号：O174.52MSC2010：30D30文献标识码：A1引言与主要结果设D为开平面C内的一个区域，f为区域D内的一个亚纯函数族，在本节中,kf表示由f中的所有函数的k阶导数组成的函数族.1992年，W.Schwick开始研究与分担值相关的亚纯函数族的正规性问题，他证明了定理A[1]设F为区域D内的一族亚纯函数，321,,aaa为三个互相判别的复数，若对任意Fzf)(，)(zf与)(zf在D内IM分担321,,aaa，则F在D内正规.后来,厐学诚和LawrenceZalcman改进了定理1,证明了以下的结果:定理B[2]设F为区域D内的一族亚纯函数,ba,为两个互相判别的复数,若对任意Fzf)(,)(zf与)(zf在D内IM分担ba,,则F在D内正规.章文华考虑到了分担集合的亚纯函数族的正规性，证明了定理C[3]设F为区域D内的一族亚纯函数，ba,为两个互相判别的非零复数，,Sab.若对任意Fzf)(，)(zf的零点重级1k,kfzSfzS,则F在D内正规.本文证明了1作者简介：张海侠（1981-）,女,讲师,基础数学专业硕士研究生,主要从事复方程与复分析研究.E-mail:[e-mail]基金项目：河南省教育厅科学技术研究重点资助项目(13A110753)；河南省骨干教师资助项目(2011GGJS-182)许昌市科技局（5016）定理1设ba,为两个判别的有穷复数,baS,，如果kf中所有函数kf在D内以S为IM分担值集.，则kf在D内正规.推论1设ba,为两个判别的有穷复数，如果kf中所有函数kf在D内IM分担ba,，则kf在D内正规.2主要引理为便于叙述并讨论本文的主要结果,在此给出相关的定义及引理1-3.定义1设F为复平面一区域D上的一组亚纯函数,如果F中任取一函数序列)(zfn均可选出一子序列)(zfkn在区域D上按球距内闭一致收敛于一亚纯函数或,则称F在区域D上正规.定义2设)(zf和)(zg是区域D内的两个亚纯函数,a是一个复数,若azf与azg在D内有相同的零点,则称)(zf与)(zg在区域D内分担a,或称IM分担a.记为(z)(z)faga引理1[4]设F是单位圆盘上的亚纯函数族，Nk，F中任一函数f的零点重级至少为k。设存在1A，使得对任意的Ff，Azfzfk)(0)()(，如果F在0z处不正规，则对于任意的k0，存在函数列Ffn}{，点列0zzn，正数列0n，使得)()()(ggzfnnnnn在复平面C上依球面距离内闭一致成立.其中g为C上的级不超过2的非常数亚纯函数，满足1)0()(##kAgg.这里))(1()()(2#ggg为球面导数。引理2[5]设f为复平面内的一个超越亚纯函数，k为一正整数，ba,为两个判别的有穷复数，且00,,,,001kkfbaf记ba，则()11(,____NkfrTkkkkfrSkbfrNkafr,)11()1,()11()1,___),(),(),(,111bffrmaffrmffrmfrSkkkkkkkafk0log01log0log1kkfbf2log3loglog4log2ba引理3（Bureau[6]引理）设rT是区间21,RR内的非负且非减的函数，ba,为两个正实数，且22ab，若不等式brUarUloglog于21RrR内成立，则不等式brRRarU2log222于21RrR内成立.3定理1的证明假设函数族kf在Dz0处不正规，不失一般性，假设00z.则由引理1，则存在一函数序列Ffn}{，一点列,0nz及一正数列0,nn使得nnknnzfgg在复平面C的意紧子集上依球面距离内闭一致成立.其中g为非常数的亚纯函数.所以nnknnnzfg1//g（1）因为g为非常数，所以我们可以选取一点0使得;,,,00bag,00/g选取一个函数kkff1，则对每一个函数kkff，kf都与kf1在D内以S为IM分担值集.设zzfznnnn0，zzzfnn01，则zzfznnknkn0，zkzzfnnk01且000gzfnnknkn，01kn01nnknzf（2）设infDzz，则对充分大的,n当2z时,zznn0D,430zznn,对zkn在2z内应用引理2，并考虑到kn与k以S为IM分担值集.我们有knkkknrSbrNarNkrT,)1,()1,()11(),(______knkkrSbfNafNk,)1,43()1,43()11(1___1___对knrS,应用Nevanlinna对数导数引理的一般形式，在20r内我们有01log0log0log1),(1knknknknbaCrTbaknkn01log01log01logkn+rr1log1loglogTlogkn,（3）(在本节，C表示与kn无关的常数，但每次出现可能不同)所以对充分大的,n在20r内我们有),(knrT1Crr1log1loglogTlogkn,再应用引理3,所以在28r内则有),(knrTCr22log1成立,因此CTkn,4（4）对充分大的,n我们知道0kn,并且存在一个不依赖于kn的正常数41,使得kn在z21内全纯且一致有界，因此kn在z21内是正规的,所以#knf在z81内一致有界.又因为0lim##nnknnnzfg（5）所以g为常数与g为非常数矛盾.证毕.参考文献：[1]SchwickW.Sharingvaluesandnormality[J].ArchMath,1992,59:50-54.[2]PangXueC,ZalcmanL.Normalfamiliesandsharedvalues[J].ArkivforMathematics,2000,38(1):171-182.[3]ZHANGWenhua.Normalfamiliesofmeromorphicfunctions[J].JournalofNanhuaUniversity,2004,(216):709-711.[4]PangXueC,ZalcmanL.Normalfamiliesandsharedvalues[J].BullLondonMathSoc,2000,32(3):325-331.[5]ZhangQingcai.NormalCriterionAboutDerivatives,PROCEEDINGSOFTHEEIGHTHINTERNATIONALCOLLOQUIUMONCOMPLEXANALYSIS,297293,2000[6]张光厚，整函数与亚纯函数理论.科学出版社，1986Shared-setofValuesandNormalFunctionZhangHai-xia1,GuoTie-xin2(1.SchoolofMathematicsandStatistics,XuchangUniversity,Xuchang461000,China；2.SchoolofMathematicsandStatistics,CentralSouthUniversity,Changsha410083,China)Abstract:Thenormalityoffamiliesofmeromorphicfunctionsusingtheideaofshared-setwasstudied,whichwasextendedfromthepredecessors,andaresultwhichconcernedaboutthenormalitywasobtained.Thenoveltheormshowsthat:Leta,bbetwodistinctfiniteplual,s={a,b},ifforeveryf(k)∈{f(k)},thesetsistheIMsharedvaluesoff(k)inadomainD,then{f(k)}isnormalintheD.Keywords:meromorphicfunctions；Shared-setofValues；normalfamily个人简介：姓名：张海侠性别:女民族:汉出生年月：1981年10月籍贯：河南省南阳市职称：讲师学位：硕士研究方向：复方程与复分析邮编：461000邮寄地址：河南省许昌市八一路88号许昌学院数学与统计学院手机：[phone]e-mail:[e-mail]