2013年理科数学全国卷2试题与答案

2013全国新课标卷2理科数学第1页2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝()．A．{0,1,2}B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3}D．{0,1,2,3}2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝()．A．－1＋iB．－1－IC．1＋iD．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()．A．13B．13C．19D．194．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则()．A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()．A．－4B．－3C．－2D．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝()．A．1111+2310B．1111+2!3!10!C．1111+2311D．1111+2!3!11!7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()．A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a＞c＞bD．a＞b＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件1,3,3.xxyyax若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()．A．14B．12C．1D．22013全国新课标卷2理科数学第2页10．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()．A．x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()．A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()．A．(0,1)B．211,22C．211,23D．11,32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅱ，理13)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD＝__________.14．(2013课标全国Ⅱ，理14)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n＝__________.15．(2013课标全国Ⅱ，理15)设θ为第二象限角，若π1tan42，则sinθ＋cosθ＝__________.16．(2013课标全国Ⅱ，理16)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅱ，理17)(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．2013全国新课标卷2理科数学第3页18．(2013课标全国Ⅱ，理18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝22AB.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．19．(2013课标全国Ⅱ，理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．2013全国新课标卷2理科数学第4页20．(2013课标全国Ⅱ，理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2222=1xyab(a＞b＞0)右焦点的直线30xy交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．21．(2013课标全国Ⅱ，理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.2013全国新课标卷2理科数学第5页请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(2013课标全国Ⅱ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．23．(2013课标全国Ⅱ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：2cos,2sinxtyt(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．2013全国新课标卷2理科数学第6页24．(2013课标全国Ⅱ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤13；(2)2221abcbca.2013全国新课标卷2理科数学第7页2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：A解析：解不等式(x－1)2＜4，得－1＜x＜3，即M＝{x|－1＜x＜3}．而N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{0,1,2}，故选A.2．答案：A解析：2i2i1i=1i1i1iz＝22i2＝－1＋i.3．答案：C解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.∵q≠1时，S3＝31(1)1aqq＝a1·q＋10a1，∴311qq＝q＋10，整理得q2＝9.∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝19.4．答案：D解析：因为m⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α.同理可得l∥β.又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D.5．答案：D解析：因为(1＋x)5的二项展开式的通项为5Crrx(0≤r≤5，r∈Z)，则含x2的项为225Cx＋ax·15Cx＝(10＋5a)x2，所以10＋5a＝5，a＝－1.6．答案：B解析：由程序框图知，当k＝1，S＝0，T＝1时，T＝1，S＝1；当k＝2时，12T，1=1+2S；当k＝3时，123T，111+223S；当k＝4时，1234T，1111+223234S；…；当k＝10时，123410T，1111+2!3!10!S，k增加1变为11，满足k＞N，输出S，所以B正确．7．答案：A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为下图：2013全国新课标卷2理科数学第8页则它在平面zOx上的投影即正视图为，故选A.8．答案：D解析：根据公式变形，lg6lg21lg3lg3a，lg10lg21lg5lg5b，lg14lg21lg7lg7c，因为lg7＞lg5＞lg3，所以lg2lg2lg2lg7lg5lg3，即c＜b＜a.故选D.9．答案：B解析：由题意作出1,3xxy所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得12a，所以12a.10．答案：C解析：∵x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．11．答案：C解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋2p＝5，则x0＝5－2p.又点F的坐标为,02p，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)2px＋(y－y0)y＝0.将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即202y－4y0＋8＝0，所以y0＝4.由20y＝2px0，得16252pp，解之得p＝2，或p＝8.所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.2013全国新课标卷2理科数学第9页12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为(0,2)，点E的坐标为(1,2)，则AE＝(1,2)，BD＝(－2,2)，所以2AEBD.14．答案：8解析：从1,2，…，n中任取两个不同的数共有2Cn种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以221C14n，即24111142nnnn，解得n＝8.15．答案：105解析：由π1tan1tan41tan2，得tanθ＝13，即sinθ＝13cosθ.将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得210cos19.因为θ为第二象限角，所以cosθ＝31010，sinθ＝1010，sinθ＋cosθ＝105.16．答案：－49解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝1109102ad＋＝10a1＋45d＝0，①S15＝11514152ad＝15a1＋105d＝25.②联立①②，得