利用导数研究函数的单调性和极大(小)值-Word版含解析【KS5U-高考】

3.2利用导数研究函数的单调性和极大(小)值挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点利用导数研究函数的单调性1.求解不等式2.研究函数的单调性2017江苏,20利用导数研究函数的单调性函数的极值★★★2017江苏,11利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值和最值1.研究函数的极值2.研究函数的最值2018江苏,11函数的最大值、最小值函数的单调性★★★2015江苏,19函数零点的应用利用导数研究函数的单调性分析解读利用导数研究函数的单调性和极大(小)值是江苏高考的必考内容,一般出现在压轴题位置,有时直接考查单调性和极值,有时结合恒成立(存在性)问题,函数零点(方程的根)问题综合考查,重点考查等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程思想,对逻辑推理能力要求比较高.破考点【考点集训】考点一利用导数研究函数的单调性1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是.答案(2,+∞)2.(2019届江苏扬州中学检测)已知函数f(x)=x-1-(e-1)lnx,其中e为自然对数的底数,则满足f(ex)0的x的取值范围为.答案(0,1)3.(2019届江苏沭阳高级中学检测)设函数f(x)=x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是.答案1a≤2考点二利用导数研究函数的极值和最值1.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a=.答案52.(2019届江苏石庄中学检测)设函数f(x)=-klnx,k0,则f(x)的极小值为.答案-3.(2019届江苏吕四中学检测)已知函数f(x)=lnx-(m∈R)在区间[1,e]上取得最小值4,则m=.答案-3e炼技法【方法集训】方法一根据函数单调性求参数的方法1.(2019届江苏汇龙中学检测)若函数f(x)=2x3-3mx2+6x在区间(2,+∞)上为增函数,则实数m的取值范围为.答案(-]2.(2019届江苏启东检测)已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在[-1,1]上是单调减函数,则a的取值范围是.答案[)方法二求函数f(x)极值的方法1.已知x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点,那么函数f(x)的极大值为.答案182.(2018江苏通州高级中学检测)已知函数f(x)={-求f(x)在区间(-∞,1)上的极小值点和极大值点.解析当x1时,f'(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令f'(x)=0,解得x=0或x=.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0()()f'(x)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘故函数f(x)的极小值点为x=0,极大值点为x=.方法三求函数f(x)在[a,b]上的最大值、最小值的方法(2019届江苏平潮高级中学检测)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.解析(1)f'(x)=-a(x0).①当a≤0时,f'(x)=-a0,即函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).②当a0时,令f'(x)=-a=0,可得x=,当0x时,f'(x)=-0;当x时,f'(x)=-0,故函数f(x)的单调递增区间为(),单调递减区间为().综上可知,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a0时,函数f(x)的单调递增区间为(),单调递减区间为().(2)①当0≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小值是f(2)=ln2-2a.②当≥2,即0a≤时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,所以f(x)的最小值是f(1)=-a.③当12,即a1时,函数f(x)在[]上是增函数,在[]上是减函数.又f(2)-f(1)=ln2-a,所以当aln2时,最小值是f(1)=-a;当ln2≤a1时,最小值为f(2)=ln2-2a.综上所述,当0aln2时,最小值为-a,当a≥ln2时,最小值为ln2-2a.过专题【五年高考】A组自主命题·江苏卷题组1.(2018江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为.答案-32.(2017江苏,11,5分)已知函数f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.答案[-]3.(2017江苏,20,16分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a0,b∈R)有极值,且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b23a;(3)若f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-,求a的取值范围.解析本题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.(1)由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f'(x)=3x2+2ax+b=3()+b-.当x=-时,f'(x)有极小值b-.因为f'(x)的极值点是f(x)的零点,所以f(-)=-+-+1=0,又a0,故b=+.因为f(x)有极值,故f'(x)=0有实根,从而b-=(27-a3)≤0,即a≥3.当a=3时,f'(x)0(x≠-1),故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值;当a3时,f'(x)=0有两个相异的实根x1=--√-,x2=-√-.列表如下:x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗故f(x)的极值点是x1,x2.从而a3.因此b=+,定义域为(3,+∞).(2)证明:由(1)知,√=√+√.设g(t)=+,则g'(t)=-=-.当t∈(√)时,g'(t)0,从而g(t)在(√)上单调递增.因为a3,所以a√3√,故g(a√)g(3√)=√,即√√.因此b23a.(3)由(1)知,f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=-a,+=-.从而f(x1)+f(x2)=+a+bx1+1++a+bx2+1=(3+2ax1+b)+(3+2ax2+b)+a(+)+b(x1+x2)+2=--+2=0.记f(x),f'(x)所有极值之和为h(a),因为f'(x)的极值为b-=-a2+,所以h(a)=-a2+,a3.因为h'(a)=-a-0,于是h(a)在(3,+∞)上单调递减.因为h(6)=-,于是h(a)≥h(6),故a≤6.因此a的取值范围为(3,6].易错警示(1)函数f(x)的极值点x0满足f'(x0)=0,函数f(x)的零点x0满足f(x0)=0,而f'(x)的极值点x0应满足f″(x0)=0.(2)求函数的关系式必须确定函数的定义域.4.(2015江苏,19,16分,0.298)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪()∪(),求c的值.解析(1)f'(x)=3x2+2ax,令f'(x)=0,解得x1=0,x2=-.当a=0时,因为f'(x)=3x20(x≠0),所以函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当a0时,若x∈(--)∪(0,+∞),则f'(x)0,若x∈(-),则f'(x)0,所以函数f(x)在(--),(0,+∞)上单调递增,在(-)上单调递减;当a0时,若x∈(-∞,0)∪(-),则f'(x)0,若x∈(-),则f'(x)0,所以函数f(x)在(-∞,0),(-)上单调递增,在(-)上单调递减.(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(-)=a3+b,则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f(-)=b()0,从而{-或{-又b=c-a,所以当a0时,a3-a+c0或当a0时,a3-a+c0.设g(a)=a3-a+c,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪()∪(),则在(-∞,-3)上,g(a)0,且在()∪()上,g(a)0均恒成立,从而g(-3)=c-1≤0,且g()=c-1≥0,因此c=1.此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a],因函数f(x)有三个零点,故x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根,所以Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-30,且(-1)2-(a-1)+1-a≠0,解得a∈(-∞,-3)∪()∪().综上,c=1.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一利用导数研究函数的单调性1.(2016课标全国Ⅰ改编,12,5分)若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是.答案[-]2.(2018课标全国Ⅲ理,21,12分)已知函数f(x)=(2+x+ax2)·ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-1x0时,f(x)0;当x0时,f(x)0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.解析本题考查导数与函数的单调性、导数与函数的极值.(1)当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f'(x)=ln(1+x)-.设函数g(x)=f'(x)=ln(1+x)-,则g'(x)=.当-1x0时,g'(x)0;当x0时,g'(x)0.故当x-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.又f(0)=0,故当-1x0时,f(x)0;当x0时,f(x)0.(2)(i)若a≥0,由(1)知,当x0时,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.(ii)若a0,设函数h(x)==ln(1+x)-.由于当|x|min{√}时,2+x+ax20,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点.h'(x)=--=.如果6a+10,则当0x-,且|x|min{√}时,h'(x)0,故x=0不是h(x)的极大值点.如果6a+10,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x10,故当x∈(x1,0),且|x|min{√}时,h'(x)0,所以x=0不是h(x)的极大值点.如果6a+1=0,则h'(x)=---.则当x∈(-1,0)时,h'(x)0;当x∈(0,1)时,h'(x)0.所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.综上,a=-.思路分析(1)a=0时,写出f(x)的解析式,对f(x)求导.易得f(0)=0,结合单调性可将问题解决.(2)对a进行分类讨论,分析各类情况下的极大值点,进而得参数a的值.易错警示容易忽略函数定义域.函数解析式中含有对数型的式子,则其真数部分应大于零.解后反思（1）利用导数研究函数的单调性,大多数情况下归结为对含有参数的一元二次不等式的解集的情况的讨论,在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时,依据根的大小进行分类讨论;在不能通过因式分解求出根的情况下,根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论,讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的.（2）利用导数研究出函数的单调性和极值后,可以画出草图,进行观察分析,研究满足条件的参数值或范围.3.(2017课标全国Ⅱ,21,12分)设函数f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.解析本题考查函数的单调性,恒成立问题.(1)f'(x)=(1-2x-x2)ex.令f'(x)=