命题及其关系、充分条件与必要条件

1.了解“p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题.其中的语句叫真命题，的语句叫假命题.判断为假判断真假判断为真2.四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.相同[思考探究]一个命题的“否命题”与“否定”是同一个命题吗？提示：不是.命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的，q是p的；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的.充分条件必要条件充要条件1.下列语句是命题的是()(1)这条河是一条小河；(2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(3)一个数不是合数就是质数；(4)大角所对的边大于小角所对的边；(5)x＋y是有理数，则x，y也都是有理数；(6)求证：x∈R，方程x2＋x＋1＝0无实数根.A.(1)(2)(3)B.(3)(4)(5)C.(4)(5)(6)D.(1)(2)(3)(4)(5)解析：(1)河的大小没有确切的定义，所以也不能判断真假.(2)疑问句，不是命题.(3)是命题.(4)是命题.(5)是命题.(6)祈使句，不是命题.答案：B2.给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A.3B.2C.1D.0解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为假命题，故它的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题只有一个.答案：C3.“x＞0”是“x≠0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：∵“x≠0”等价于“x＜0或x＞0”，∴“x＞0”⇒“x＜0或x＞0”，“x＞0”“x＜0或x＞0”.答案：A4.设A、B为两个集合，下列四个命题：①A⊈B⇔对任意x∈A，有x∉B；②A⊈B⇔A∩B＝∅；③A⊈B⇔A⊉B；④A⊈B⇔存在x∈A，使得x∉B.其中真命题的序号是(把符合要求的命题序号都填上).解析：若A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则集合A、B满足A⊈B.但2∈A,2∈B，故①、②错.若取A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A、B满足A⊈B，但A⊇B，故③是错误的.显然④正确.答案：④5.已知P：x＋y≠2009；Q：x≠2000且y≠9,则P是Q的条件.解析：“若P则Q”的逆否命题是x＝2000或y＝9⇒x＋y＝2009.∵逆否命题不成立，∴原命题不成立.显然其逆命题也不成立.答案：既不充分又不必要1.命题真假的判定对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.2.四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假.[特别警示]当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并判断它们的真假：(1)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；(2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0；(4)若x2＋y2＝0，则x、y全为0.[思路点拨][课堂笔记](1)原命题是真命题；逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，为真命题；否命题：若q＞1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为真命题；逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q＞1，为真命题；命题的否定：若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题.(2)原命题是真命题；逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，是假命题；否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题；逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命题；命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题.(3)原命题为真命题；逆命题：若x＝0或y＝0，则xy＝0，是真命题；否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0，是真命题；逆否命题：若x≠0且y≠0，则xy≠0，是真命题；命题的否定：若xy＝0，则x≠0且y≠0，是假命题.(4)原命题为真命题.逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0，为真命题；否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为0，为真命题；逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0，为真命题；命题的否定：若x2＋y2＝0，则x、y不全为0，是假命题.1.利用定义判断(1)若p⇒q，则p是q的充分条件；(2)若q⇒p，则p是q的必要条件；(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件；(5)若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(6)若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.2.利用集合判断记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件.[特别警示]从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围.指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(1)p：a＋b＝2，q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切；(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0；(3)设l，m均为直线，α为平面，其中l⊄α，m⊂α，p：l∥α，q：l∥m；(4)设α∈(－，)，β∈(－，)，p：α＜β，q：tanα＜tanβ.[思路点拨][课堂笔记](1)若a＋b＝2，圆心(a，b)到直线x＋y＝0的距离，所以直线与圆相切，反之；若直线与圆相切，则|a＋b|＝2，∴a＋b＝±2，故p是q的充分不必要条件.(2)若|x|＝x，则x2＋x＝x2＋|x|≥0成立；反之，若x2＋x≥0，即x(x＋1)≥0，则x≥0或x≤－1.当x≤－1时，|x|＝－x≠x，因此，p是q的充分不必要条件.(3)∵l∥αl∥m，但l∥m⇒l∥α，∴p是q的必要不充分条件.(4)∵x∈(－，)时，正切函数y＝tanx是单调递增的，∴当α∈(－，)，β∈(－，)，且α＜β时，tanα＜tanβ，反之也成立.∴p是q的充要条件.1.条件已知证明结论成立是充分性.结论已知推出条件成立是必要性；2.证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性.证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明；3.证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论.求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.[思路点拨][课堂笔记](1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，方程x2＋mx＋1＝0有实根.设x2＋mx＋1＝0的两个实根为x1、x2，由根与系数的关系知x1x2＝1＞0.所以x1、x2同号.又因为x1＋x2＝－m≤－2，所以x1、x2同为负根.(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0的两个实根x1、x2均为负，且x1x2＝1，所以m－2＝－(x1＋x2)－2＝－(x1＋)－2＝－＝－，所以m≥2.综合(1)(2)知命题得证.若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个正实根，求m的取值范围？即∴m≤－2.即m的取值范围为{m|m≤－2}.解：∵方程x2＋mx＋1＝0有两个正实根，有关充要条件的题目在各省市的高考题中出现的比较多，通过对考试大纲和高考真题的分析研究，可以发现高考考题的常见类型为“直接考查条件和结论之间的充要关系”另一类题目，考查角度比较独特，如(2008·全国卷Ⅱ)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①；充要条件②.这类题目开放性较强，尽管答案不唯一，但能充分考查考生的综合能力，在2009年的福建高考试题中也有体现.[考题印证](2009·福建高考)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2C.m∥β且n∥βD.m∥β且n∥l2【解析】∵m∥l1，且n∥l2，又l1与l2是平面β内的两条相交直线，α∥β，而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2.【答案】B[自主体验]函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1的图象经过四个象限的一个充分但不必要条件是()A.－a－B.－1a－C.－a－D.－2a0解析：∵f′(x)＝a(x＋2)(x－1)，∴函数f(x)在x＝－2和x＝1处取得极值，如图所示，要函数f(x)的图象经过四个象限的充要条件是f(－2)·f(1)0，解之得－＜a＜－.在四个选项中只有(－1，－)⊆(－，－).答案：B1.若条件p：|x＋1|≤4，条件q：x2＜5x－6则p”是“q”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析：∵p：－5≤x≤3，则p：x＜－5或x＞3；∵q：2＜x＜3，则q：x≤2或x≥3，∴p是q的充分不必要条件.答案：A2.命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是()A.若x2≥1，则x≥1或x≤－1B.若－1＜x＜1，则x2＜1C.若x＞1或x＜－1，则x2＞1D.若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：若原命题是：若p则q，则逆否命题为若q，则p，故此命题的逆否命题为：若|x|≥1，则x2≥1，即若x≥1或x≤－1，则x2≥1.答案：D3.(2010·平顶山模拟)命题“若方程x2＋a＝0无实根，则a≥0”其中原命题、逆命题、否命题、逆命题中，正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析：若方程x2＋a＝0无实根，则a≥0.(真命题)逆命题：若a≥0，则方程x2＋a＝0无实根.(假命题)否命题：若方程x2＋a＝0有实根，则a＜0.(假命题)逆否命题：若a＜0，则方程x2＋a＝0有实根.(真命题)答案：B4.用“充分条件、必要条件、充要条件”填空：(1)“a＋b＜0且ab＞0”是“a＜0且b＜0”的；(2)“x＞1”是“＜1”的；(3)“x＝2”是“x2－7x＋10＝0”的.解析：(1)∵a＋b＜0且ab＞0，∴a，b同号且都是负数.即a＋b＜0且ab＞0⇒a＜0且b＜0.又∵a＜0且b＜0，∴a＋b＜0，ab＞0，即a＜0且b＜0⇒a＋b＜0且ab＞0，∴“a＋b＜0且ab＞0”是“a＜0且b＜0”的充要条件.(2)∵x＞1时，＜1成立，即x＞1⇒＜1，又∵＜1时，x未必大于1(如x＝－3)，即＜1x＞1，∴“x＞1”是“＜1”的充分条件.(3)∵当x＝2时，x2－7x＋10＝4－14＋10＝0，∴x＝2⇒x2－7x＋10＝0；当x2－7x＋10＝0时，则x1＝2，x2＝5，∴x2－7x＋10＝0x＝2，∴“x＝2”是“x2－7x＋10＝0”的充分条件.答案：(1)充要条件(2)充分条件(3)充分条件5.有三个命题：(1)“若方程ax2＋1＝0有一个负根，则a＜0”的逆命题；(2)“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；(3)“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题.其中真命题的个数为.解析：(1)真；(2)原命题假，所以逆否命题也假；(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假.答案：16.设命题p：f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增；q：关于x的方程x2＋2x＋loga＝0的解集只有一个子集，在p∨q为真，p∨q也为真，求实数a的取值范围.解：命题p：f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，故a＞1，命题q：方程的解集只有一个子集即方程无解，Δ＝