等比数列常考题型归纳总结很全面

快乐每一天，收获多一点。等比数列及其前n项和教学目标：1、熟练掌握等比数列定义；通项公式；中项；前n项和；性质。2、能熟练的使用公式求等比数列的基本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有关的简单问题。知识回顾：1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。用递推公式表示为)2(1nqaann或qaann1。注意：等比数列的公比和首项都不为零。（证明数列是等比数列的关键）2．通项公式：等比数列的通项为：11nnqaa。推广：mnmnqaa3．中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项；其中abG2。4．等比数列的前n项和公式)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn5．等比数列项的性质（1）在等比数列na中，若m，n，p，qN且mnpq，则qpnmaaaa；特别的，若m，p，qN且qpm2，则qpmaaa2。（2）除特殊情况外，,...,,232nnnnnSSSSS也成等比数列。nqq'。（其中特殊情况是当q=-1且n为偶数时候此时nS=0，但是当n为奇数是是成立的）。4、证明等比数列的方法（1）证：qaann1（常数）；（2）证：112·nnnaaa（2n）.考点分析快乐每一天，收获多一点。考点一：等比数列基本量计算例1、已知na为等比数列，Sn是它的前n项和。若2312aaa，且4a与27a的等差中项为54，求5S。例2、成等差数列的三项正数的和等于15，且这三个数加上2、5、13后成等比数列nb中的543,,bbb。（1）求数列nb的通项公式；（2）求数列nb的前n和为nS。练习：1、设na是有正数组成的等比数列，nS为其前n项和。已知142aa,37S,则5SA．215B．431C．433D．2172、在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.3、已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为()A.3312B．31C.314D．以上都不正确4、设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．5、（4）、已知na是首项为1的等比数列，nS是na的前n项和，且639SS，则数列1na的前5项和为（）。A．158或5B．3116或5C．3116D．158考点二：等比数列性质应用快乐每一天，收获多一点。例2、设nS为等比数列na的前n项和，已知3432Sa，2332Sa，则公比qA．3B．4C．5D．6练习：1、在等比数列na中，201020078aa，则公比q的值为A．2B．3C．4D．8例3、等比数列na满足：1161aa，93243aa，且公比1,0q（1）数列na的通项公式；（2）若该数列的前n项和21nS，求n的值。练习：1、已知正项等比数列na满足25932aaa，22a，则1a。2、已知等比数列na满足25932aaa，22a，则1a。3、已知等比数列na满足18,251aa，则432aaa___________。4、在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.例4、等比数列na满足0na，nN*，且473aa，则当1n时，92322212log...logloglogaaaa.例5、等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________.练习：1、已知正项等比数列na满足5321aaa，10987aaa，则654aaa_______。2、在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.例6、设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3＝________.练习：1、设等比数列{an}的前n项和为Sn，若336SS，则69SS＝________.考点三：等比数列的证明快乐每一天，收获多一点。例7、（2017成都市高三一诊）已知数列na满足42,211nnaaa。（1）证明数列4na是等比数列。（2）求数列na的前n项和nS。练习：1、已知数列na满足12,311naaann，数列nb满足nabnn。证明数列nb为等比数列。2、已知数列na满足nnnaaa221，数列nb满足)1(lgnnab。证明数列nb为等比数列。3、在数列na中，*11,21,21Nnannaann。求证：数列nan为等比数列。例8、已知)1(4,)1(2xxgxxf，数列na满足：1,21naa且)()()()*1Nnafagaannnn（。证明：数列1na是等比数列。练习1、已知函数212)(xxxf，数列na满足),2(1Rttta，))((1Nnafann（1）若数列na是常数列，求t；（2）当21a时，记)(11Nnaabnnn，证明：数列nb是等比数列，并求出数列na的通项公式。例9、已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.快乐每一天，收获多一点。(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．练习：1、设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．例10、已知数列na的首项123a，121nnnaaa，*nN证明：数列11na是等比数列。小结与拓展：（1）定义法：qaann1（Nn，q是常数）na是等比数列；（2）中项法：221nnnaaa(Nn)na是等差数列。考点四：等差、等比数列的综合应用例11、在等差数列na中，50,302010aa(1)求数列na的通项公式；(2)令102nnab，证明：数列nb为等比数列；快乐每一天，收获多一点。练习：一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。例12、某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2010年年底分红后的资金为1000万元．(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元．习题15.31、在等比数列na中，（1）74,3,27aqa求；（2）32415,6,15aaaaa求；（3）已知qaSa与求133,29,23。2、已知na为等比数列，324202,3aaa，求na的通项式。3、已知等比数列na满足71134aaa，数列nb是等差数列满足77ba则95bb4、设等比数列na的公比2q，前n项和为nS，则42Sa（）A．2B．4C．215D．217快乐每一天，收获多一点。5、设nS为等比数列na的前n项和，已知3432Sa，2332Sa，则公比qA．3B．4C．5D．66、设nS为等比数列na的前n项和，2580aa则52SSA．-11B．8C．5D．117、设正项等比数列na的前n项和为nS，已知43a，122542aaa（1）数列na的通项公式；（2）若该数列的前n项和1210nS，求n的值。8、设nS为数列na的前n项和，2nSknn，*nN，其中k是常数。（1）求1a及na；（2）若对于任意的*mN，ma，2ma，4ma成等比数列，求k的值9、在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.10、（选做题）已知数列na，nb满足：1a，4321naann，)213()1(nabnnn其中为实数，n为正正数。（1）对任意的实数，证明数列na不是等比数列；（2）试判断数列nb是否是等比数列，并证明你的结论。