2010年上海高考数学理科试卷及答案解析

12010上海高考数学（理科）一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1．不等式204xx的解集是_______________．2．若复数z12i（i为虚数单位），则zzz_______________．3．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等，则点P的轨迹方程为______．4．行列式cossin36sincos36的值是_______________．5．圆C:x2y22x4y40的圆心到直线3x4y40的距离d____________．6．随机变量的概率分布由下表给出：则该随机变量的均值是___________．7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_______________．8．对于不等于1的正数a，函数f(x)loga(x3)的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标为_______________．9．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率()PAB______________(结果用最简分数表示)．10．在n行n列矩阵12321234113451212321nnnnnnnnnn中，记位于第i行第j列的数为aij(i,j1,2,···,n)．当n9时，a11a22a33···a99_______________．11．将直线l1：nxyn0、l2：xnyn0(nN*)、x轴、y轴围成的封闭区域的面积记为Sn，则limnnS_______________．12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于点O，剪去AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A(B)、C、D、O为顶点的四面体的体积是_______________．13．如图所示，直线2x与双曲线22:14xy的渐近线交于1E、2E两点，记11OEe，22OEe，任取双曲线上的点P，若12(,)OPaebeabR，则a、b满足的一个等式是_______________．14．从集合{,,,}Uabcd的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1),U都要选出；(2)对选出的任意两个子集A和B，必有AB或AB．那么，共有___________种不同的选择．二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15．“24xk(kZ)”是“tanx1”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件78910x0.3P(=x)0.20.350.15开始T←9,S←0输出T,ST≤19T←T1输入a结束否是ABCDOxOyE1E2216．直线l的参数方程是12()2xttytR，则l的方向向量d可以是（）A．(1,2)B．(2,1)C．(2,1)D．(1,2)17．若x0是方程1312xx的解，则x0属于区间（）A．2,13B．12,23C．11,32D．10,318．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是113、111、15，则此人将（）A．不能作出满足要求的三角形B．作出一个锐角三角形C．作出一个直角三角形D．作出一个钝角三角形三、解答题（本大题满分74分）19．（本题满分12分）已知02x，化简：2lg(costan12sin)lg[2cos()]lg(1sin2)24xxxxx．20．（本题满分13分）第1小题满分5分，第2小题满分8分．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Snn5an85,nN*．(1)证明：{an1}是等比数列；(2)求数列{Sn}的通项公式，并指出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由．320．（本题满分14分）第1小题满分5分，第2小题满分8分．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分．再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；(2)在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A1B3、A3B5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．22．（满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分．若实数x、y、m满足|xm|﹥|ym|，则称x比y远离m．(1)若x21比1远离0，求x的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3b3比a2bab2远离2abab；(3)已知函数f(x)的定义域{|,,}24kDxxkxZR．任取xD，f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）A1A2A3A4A5A6A7A8B1B2B3B4B5B6B7B8423．（本题满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．已知椭圆的方程为22221(0)xyabab，点P的坐标为(a,b)．(1)若直角坐标平面上的点M、A(0,b)、B(a,0)满足1()2PMPAPB，求点M的坐标；(2)设直线l1:yk1xp交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2:yk2x于点E．若2122bkka，证明：E为CD的中点；(3)对于椭圆Γ上的点Q(acos,bsin)(0)，如果椭圆Γ上存在不同的两点P1、P2使12PPPPPQ，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的的取值范围．52010上海高考数学（理科）参考答案一、填空题1．(4,2)；2．62i；3．y28x；4．0；5．3；6．8.2；7．S←Sa；8．(0,2)；9．726；10．45；11．1；12．823；13．4ab1；14．36．二、选择题15．A；16．C；17．D；18．D．三、解答题19．原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20．20．(1)当n1时，a114；当n≥2时，anSnSn15an5an11，所以151(1)6nnaa，又a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列；(2)由(1)知：151156nna，得151156nna，从而1575906nnSn(nN*)；解不等式SnSn1，得15265n，562log114.925n，当n≥15时，数列{Sn}单调递增；同理可得，当n≤15时，数列{Sn}单调递减；故当n15时，Sn取得最小值．21．(1)设圆柱形灯笼的母线长为l，则l1.22r(0r0.6)，S3(r0.4)20.48，所以当r0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；(2)当r0.3时，l0.6，建立空间直角坐标系，可得13(0.3,0.3,0.6)AB，35(0.3,0.3,0.6)AB，设向量13AB与35AB的夹角为，则133513352cos3||||ABABABAB，所以A1B3、A3B5所在异面直线所成角的大小为2arccos3．22．(1)(,2)(2.)x；(2)对任意两个不相等的正数a、b，有332ababab，222abababab，因为33222|2||2|()()0ababababababababab，所以3322|2||2|ababababababab，即a3b3比a2bab2远离2abab；(3)3sin,(,)44()cos,(,)44xxkkfxxxkk，性质：1f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2f(x)是周期函数，最小正周期2T，3函数f(x)在区间(,]242kk单调递增，在区间[,)224kk单调递减，kZ，4函数f(x)的值域为2(,1]2．623．(1)(,)22abM；(2)由方程组122221ykxpxyab，消y得方程2222222211()2()0akbxakpxapb，因为直线11:lykxp交椭圆于C、D两点，所以0，即222210akbp，设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，则212102221201022212xxakpxakbbpykxpakb，由方程组12ykxpykx，消y得方程(k2k1)xp，又因为2221bkak，所以2102222112202221akppxxkkakbbpykxyakb，故E为CD的中点；(3)求作点P1、P2的步骤：1求出PQ的中点(1cos)(1sin)(,)22abE，2求出直线OE的斜率2(1sin)(1cos)bka，3由12PPPPPQ知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率2122(1cos)(1sin)bbkaka，4从而得直线CD的方程：(1sin)(1cos)(1cos)()2(1sin)2bbayxa，5将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，所以22(1cos)(1sin)144，化简得1sincos2，2sin()44，又0，即3444，所以2arcsin444，故的取值范围是2(0,arcsin)44．