构造法-构造方程法

构造法之构造方程法构造方程主要依据两类条件：21212:4,、题设中有形式、题设中有韦达定理：形式主要依据、题设中条件：共性构建相同结构的方程形式、的求最值作用bacxxuxxvCDA类、△形式例1、柯西（Cauchy）不等式22211nnbababa2222221212nnaaabbbniRbaii2,1,等号当且仅当021naaa或iikab时成立（k为常数，ni2,1）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数2222211)(nnbxabxabxaxf=22222121122122nnnnnnaaaxabababxbbb22120nnaaa0fx恒成立2222211221212440nnnnnnabababaaabbb即2222211221212nnnnnnabababaaabbb当且仅当01,2iiaxbxin即1212nnaaabbb时等号成立例2、若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0求证：x、y、z成等差数列。分析：注意到条件中的等式右边代数式的结构特点，容易联想起一元二次方程根的判别式，为此可构造以(z-x)2-4(x-y)(y-z)为判别式的一元二次方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0(*)由题可知⊿=(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0∴方程（*）有两个相等实根又∵(x-y)+(z-x)+(y-z)=0∴t=1为方程（*）的一个根，从而t1=t2=1由韦达定理得：t1·t2=xyyz从而2y=x+z，命题得证。例3．设cba,,为实数.若0))((cbaca，证明：)(4)(2cbaacb；分析：所证不等式0)(4)(2cbaacb，联想到一元二次方程的根的判别式ACB42，因此可以构造二次函数)()()(2cbaxcbaxxf，只要证得方程0)(xf有两根或)(xf与x轴相交即可．当0a时，由已知条件可得cb.（否则，若cb，则020)(2bcbc，不成立）．当0a时，设)()()(2cbaxcbaxxf，因为)(2)1(,)0(cafcbaf，由已知0))((cbaca，所以0)1()0(ff，所以二次函数)(xf的图象与x轴相交，故0)(4)(2cbaacb，即)(4)(2cbaacb.说明，有些不等式的证明，如果借助已知条件的特点，通过构造二次函数来处理将会非常简捷，这种例子很多．例4、已知，，，，)22(求证：)tantan2)(tan2(tantantan2）（证明：构造方程0)tantan2()tan(tan2)tan2(tan2xx（*）不等式成立0)tan(tan0tan2tan.12）的根是方程（时当*10)tantan2()tan(tan2)tan2(tan,10tan2tan.2xx)tantan2)(tan2(tan)tan(tan0)tantan2)(tan2(tan4)tan(tan422例5、已知16cos4sintan0CBA，2sin4costanBCA，其中0cosC试确定cotcosAC的值.分析与解：由ACBtancos4sin2，诱发我们想到一元二次方程判别式.并且判别式等于0方程有等根.为此，不妨一试.令4t，则前一式改写为2cossintan0tCtBA因为0cosC，所以式是t的一元二次方程.由第二个关系式推知，的判别式2sin4costan0,BCA所以，关于t的一元二次方程有等根，即421tt.由韦达定理得，212tan416,cosAttC所以tan0.A因此，1cotcos16AC.B、韦达定理：两根之和两根之积形式例1、设abc且1abc,2221abc,求ab的范围解由1abc得1abc(1)将(1)的两边平方并将2221abc代入得2abcc(2)由(1)(2)可知，,ab是方程22(1)()0xcxcc的两个不等的实根于是222(1)4()3210ccccc解得113c即:11()13ab所以41ab3例2、已知实数,,xyz满足25,9xyzxyy，求23xyz的值分析根据本题的题设可能使我们联想到韦达定理，但仍需进行合理的变形，才能构造出方程组去求解。解由已知可得：9612zyyxyx，以1x、y为两实数根，构造方程22690ttz因为方程有实数根，所以222(6)4(9)40zz.由此得到20z且0所以方程2690tt有两个相等的实数根，所以123tt于是13xy所以2,3,0xyz所以2322308xyz例3、已知实数a、b、c满足9,62abcba，求解a,b,c.分析：本题的解决当然可以用消去c的方法求解，把它变成一个关于a、b的一元二次方程，从而证明a=b，但由于题目条件中有a＋b和ab，使我们很自然地联想到韦达定理，因而可以构造一元二次方程求解。解：9,62abcba9,62cabba所以构造方程0)9(622cxx,其中a、b是该方程的两个根。0)3()9(62222cxcxx故必有x=3且c=0即方程有两个相等的实数根3a=b=3,c=0例4、已知实数x、y、z满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3求z最大值分析：对于条件中有两根之和及两根之积的题目，可考虑构建一元二次方程，借助△=0来求解值域或最值。25353500又可以构造以、为根关于的方程有两个实数根由可求出其范围。xyzxyxyzxyttztzzC、共性特征形式例1、设x,y为实数，且满足关系式：(x-1)3+1997(x-1)=-1(y-1)3+1997(y-1)=1则x+y=.[分析]：此题用常规方法，分别求出x和y的值后再求x+y则既繁又难，三次方程毕竟不熟悉.若将两方程联立构造出方程(x-1)3+1997(x-1)=(1-y)3+1997(1-y)=1，利用函数f(t)=t3+1997t的单调性，易得x-1=1-y，自然、简洁.D、△的求最值作用例1、求y=22x5x1xx1的值域.分析:求函数的值域的方法很多,判别式法是常用的一种,它的理论依据是将y=f(x)化为关于x的二次方程,那么方程有实数解时,判别式0,由此可求得函数的值．解:将y=22x5x1xx1变形为关于x的方程(1y)2x+(y-5)x+(1-y)=0当y1时,2(y5)-42(1-y)=32y2y+210,所以,73y3,当y=1时,x=0,此时7y[3,]3．于是y=22x5x1xx1的值域便是7[3,]3．例2、求证：),2(3tansectansec3122Zkk证明：设tansectansec22y则：2(1)tan(1)tan(1)0yyy当1y时，显然成立.当1y时22(1)4(1)(31)(3)0yyyy所以：133y