2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)

(1)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为(2)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果将“一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为1、考察下面的问题1740，1823，1960，1989，2072，…11111,,,,,2481632问题创设(1)三角形数(2)正方形数2、观察以下2个例子：1361014916问题创设一、数列的概念：按一定次序排列的一列数叫做数列思考1：拿“1，2，3”这三个数来排，能排出几个数列？例如：三角形数1，3，6，10，…正方形数1，4，9，16，…1，2，32，1，33，1，21，3，22，3，13，2，1注意：每个数列中的数都有特定的顺序，但不一定要有特殊的规律.一、数列的概念：按一定次序排列的一列数叫做数列注：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项.我们常把数列的一般形式写成a1，a2，a3，…，an，….(n∈N*)简记作{an}。例如：若用{an}来表示“2，1，3”这个数列，则a2=____；1思考2：能不能把数列“2，1，3”记为{2，1，3}？不行，{2，1，3}是一个集合，集合中的元素是没有顺序的一、数列的概念：按一定次序排列的一列数叫做数列注：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项.我们常把数列的一般形式写成a1，a2，a3，…，an，….(n∈N*)简记作{an}。思考3：{an}与an的意思一样吗？{an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，….an表示数列{an}中的第n项各项都相等的数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列二、数列的分类：1、以项数来分类：（1）有穷数列：（2）无穷数列：2、以各项的大小关系来分类：（1）递增数列：（2）递减数列：（3）常数列：（4）摆动数列：项数有限的数列项数无限的数列对任意n∈N*，总有an+1an(或an+1-an0)对任意n∈N*，总有an+1an(或an+1-an0)从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列思考：观察下列数列的特点，用适当的数填空，并猜想这些数列的第n项an是什么？（1）1，，9，16，25，，49，…；（2）2，4，，16，32，，128，…；（3）1，-1，1，，1，-1，，-1，…；436864-112nan（1）2nna（2）11(1)(1)nnnnaa（3）或三、数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项。例如：an=n2就是数列1，4，9，16，…的一个通项公式注意：①通项公式的主要作用是“知序号可求项”如：数列{n2}的第11项是_______②一些数列的通项公式不是唯一的；如：数列1，-1，1，-1，…③不是每一个数列都能写出它的通项公式。如：1，24，8，3，19121例1、试写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：变题：4，6，8，10变题：-3，-1，1，3（1）2，4，6，8；（2）1，3，5，7；an=2nan=2n+2an=2n-1an=2n-5101nna变题：5，55，555，55555(101)9nna（4）9，99，999，9999；315(3)1,,,,421612nnna（1）-2，2，-2，2；（2）（3）2，0，2，0；1111,,,234；拓展、试写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)2nna1(1)nnan1(1)1nna练习：课本P31第1，4题小结观察法求通项公式：（1)常见数列：正整数列；奇数列，偶数列，平方数列，三角形数列，（2)分数列：观察分子、分母的特点。（3)指数数列：观察底数、指数的特点。（4)各项符号一正一负：1(1)(1)nn或例1、已知数列{an}的通项公式是an=-n2+4n-1，（1）写出这个数列的前4项；（2）你能判断出这个数列哪一项最大吗？为什么？注意：an=-n2+4n-1可看成以n为自变量的一个函数11412a解：（1），24813a391212a，4161611a（2）∵an=-n2+4n-1=-(n-2)2+3∴当n=2时，an取到最大值3思考：上述数列的通项an=-n2+4n-1与函数f(x)=-x2+4x-1有什么不同？(3)-13是这个数列中的项吗？递增数列：递减数列：对任意n∈N*，总有an+1an(或an+1-an0)对任意n∈N*，总有an+1an(或an+1-an0)例2、已知数列{an}的通项公式为an=n2+n，其中n∈N*，求证{an}是个递增数列。证明：∵对任意n∈N*，an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+20∴{an}是个递增数列五、数列与函数的关系：注意，在数列{an}中项：a1，a2，a3，…，an，….序号：1，2，3，…，n，…从函数的观点看，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.数列的其他表示方法：如：数列2，4，6，…，2n，…列表法，图象法例4、下图中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.（1）（2）（3）（4）13nna13nna思考：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第2项起每一项都等于它的前一项的2倍再加1，即an=2an-1+1(n≥2)则该数列的第5项是什么？已知数列{an}的第1项（或前几项），且任意一项an与前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式练习：试写出数列1，3，6，10，…的一个递推公式。11151,1(2),5nnaana例、已知写出这个数列的前项.解：∵a1=121111121aa321131122aa431251133aa541381155aa练习：写出下列数列{an}的前5项（1）a1=5，an=an-1+3(n≥2)；（2）a1=2，an=2an-1(n≥2)；思考：你能否利用上面两题的条件求出数列{an}的通项公式？（1）5，8，11，14，17（2）2，4，8，16，32二.数列的分类：1.以项数来分类：（1）有穷数列：（2）无穷数列：2.以各项的大小关系来分类：（1）递增数列：（2）递减数列：（3）常数列：（4）摆动数列：项数有限的数列项数无限的数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列各项都相等的数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列(an+1an，n∈N*)(an+1an，n∈N*)(an+1=an，n∈N*)