有理数知识总结及经典例题

有理数一、学习目标：理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类；理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算；通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算；通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。二、重点难点：有理数的相关概念，如：绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等,有理数的运算；有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运算。三、学习策略：先通过知识要点的小结与典型例题练习，然后进行检测，找出漏洞，再进行针对性练习，从而达到内容系统化和应用的灵活性。四、知识框架：五、知识梳理1、知识点一：有理数的概念（一）有理数：（1）整数与分数统称__________________按定义分类：____________________　　　____有理数　__________　　　_____按符号分类：______________　　　　____有理数零____　　　　　____注：①正数和零统称为_______________；②负数和零统称为_______________③正整数和零统称为_______________；④负整数和零统称为_______________.（2）认识正数与负数：①正数：像1，1.1，175，2008等大于_______________的数，叫做_______________.②负数：像-1，-1.1，-175，-2008等在正数前面加上“－”（读作负）号的数，叫__________注意：_________都大于零，___________都小于零.“0”即不是_________，也不是__________.（3）用正数、负数表示相反意义的量：如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其___________意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其___________意义的量.如：若-5米表示向东走5米，则+3米表示向____________走3米；若+6米表示上升6米，则-2米表示____________；+7C表示零上7C，-7C则表示____________.（4）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数、是整数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态00C表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数（二）数轴（1）概念：规定了______________、______________和______________的直线注：①______________、______________、______________称为数轴的三要素，三者缺一不可.②单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的，后者指所取度量单位的，即是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.（2）数轴的画法及常见错误分析①画一条水平的______________；②在这条直线上适当位置取一实心点作为______________：③确定向右的方向为______________，用______________表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的要一致.⑤数轴画法的常见错误举例：错例原因不统一没有（3）有理数与数轴的关系一切有理数都可以用数轴上的表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数，正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都是有理数，如.（三）相反数（1）相反数：只有的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是；若a与b互为相反数，则___ab　　，反之亦然.（2）相反数的性质：①代数意义：只有的两个数叫做互为相反数，特别地，O的相反数是0．相反数必须出现，不能单独存在．例如+5和互为相反数，或者说+5是的相反数，－5是的相反数，而单独的一个数不能说是．另外，定义中的“只有”指除以外，两个数，注意应与“只要符号不同”区分开．例如+3与－3互为相反数，而+3与－2虽然不同，但它们不是相反数．②几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于两侧，并且到原点的________相等．这两点是关于_____对称的．③求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．一般地，数a的相反数是；这里以a表示任意一个数，可以为、、负数，也可以是任意一个代数式．注意－a不一定是．注意：当a＞0时，－a0(正数的相反数是数)；当a=0时，－aO(0的相反数是)；当a＜0时，aO(负数的相反数是)．④互为相反数的两个数的和为，即若a与b互为，则a+b=0，反之，若a+b=O，则a与b互为．⑤多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部；一个正数前面有个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；一个正数前面有个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，即“负正”（其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的，“负正”是指化简的最后结果的.（四）绝对值（1）绝对值的代数意义及几何意义①绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是.②绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的与_______的距离.数a的绝对值记作.注意：①取绝对值也是一种，这个符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质绝对值符号.②绝对值具有性，取绝对值的结果总是.③任何一个有理数都是由部分组成：和它的，如：－5，符号是，绝对值是.（2）字母a的绝对值的分类___,()___,(0)___,(0)aoaaa　　　　　　或___,(0)___,(0)aaa　　　　或___,(0)___,(0)aaa　　　　　（3）利用绝对值比较两个负有理数的大小规则：两个负数，绝对值大的反而.步骤：①计算两个负数的.②比较这两个的大小.③写出正确的判断结果.④如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为.例如：若0,____,____,______abcabc则2、知识点二：有理数运算（一）有理数比较大小（1）数轴上的数，右边的数总左边的数．（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；（3）两个负数，绝对值大的反而；（4）两数比较大小，可按符号情况分类：0同正：__________大的数大两数同号同负：__________大的反而小比较大小两数异号（一正一负）：______大于_______正数与0：_______大于0其中有时负数与0：_______小于0（二）有理数的加减法（1）有理数加法法则①同号两数相加，取相同的，并把绝对值.②绝对值不相等的异号两数相加，取的加数的符号，并用较大的减去较小的.③一个数同0相加，仍得.（2）有理数加法的运算步骤法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：①确定和的；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的.（3）有理数加法的运算律①两个加数相加，交换加数的位置，不变.即a+b=b+a(加法律)②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，不变.即(a+b)+c=a+(b+c)（加法律）（4）有理数加法的运算技巧①分数与小数均有时，应先化为形式.②带分数可分为与两部分参与运算.③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合得④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合.⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.⑥相同的数可以先结合在一起.（5）有理数减法法则减去一个数，等于，即a-b=a+()（6）有理数减法的运算步骤①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.（7）有理数加减混合运算的步骤①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有的运算，即变为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，例如：（+3）+（-0.15）+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和。（三）有理数的乘除法（1）有理数乘法法则两数相乘，同号得，异号得，并把相乘.任何数同相乘，都得0.（2）有理数乘法的运算律①两个数相乘，交换因数的位置，积相等.即ab=（乘法结合律）②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.即abc=（乘法结合律）③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.即a(b+c)=（乘法分配律）（3）有理数乘法法则的推广①几个不等于0的数相乘，积的符号由的个数决定，当的个数是偶数时，积为；的个数是奇数时，积为.②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为.在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.（4）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的。即a÷b=a·(b≠0)两数相除，同号得，异号得，并把绝对值，除以任何一个不等于0的数，都得0.（5）倒数及有理数除法①乘积为的两个数互为倒数。倒数是出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定；没有倒数；求一个非零有理数的倒数，只要把它的分子和分母即可（正整数可以看作分母为1的分数）。注意：,ab互为倒数，则___ab；,ab互为负倒数，则____ab。反之亦然.②有理数除法的运算步骤：首先确定商的，然后再求出商的绝对值.（四）有理数的乘方（1）概念：求n个相同因数的积的运算，叫做，的结果叫做，在na中，a叫做，n叫做.（2）含义：na中，a为底数，n为指数，即表示a的个数，na表示有相乘.例如：53表示3×3×3×3×3，(-3)5表示（-3）×（-3）×（-3）×（-3）×（-3），特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.如(-2)7表示相乘，而-27则表示7个2相乘的积的。当n为奇数时，(-a)n=；而当n为偶数时，(-a)n=.注意：负数的奇次幂是，负数的幂是正数。正数的任何次幂都是，0的任何次幂都是，任何不为0的数的0次幂都是.（3）“奇负偶正”口诀的应用口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：①多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=，－[+（－3）]=.②有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=，而（－3）×（－2）×6=.③有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为；指数为偶数，则幂为，例如：（－3）2=，（－3）3=.（4）有理数混合运算的运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算级运算，然后级，最后级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，应先算___括号里的，再算括号里的，最后算括号里的.以上运算顺序可以简记为：“从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）”.（五）近似数、有效数字和科学记数法（1）科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中_____a　　　，n是整数），此种记数法叫做科学记数法.例如：200000=5210就是科学记数法表示数的形式.又如：10200000=也是.（2）有效数字：从一个数的左边第一个数字起，到止，所有数字都是这个