第15讲 导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例

1探究xyoabxyoab()fx()fx()fx000()fx0极小值点极大值点()yfx如图，在a、b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？()0fb()0fa()yfx2020年4月22日11时30分2在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？新课引入极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。极大值、极小值与最大值、最小值有什么区别？极大值、极小值是局部的最大值、最小值。最大值、最小值是想对于整体而言。求极大值、极小值有什么用？那就是去求函数的最大值、最小值。分析下图一个定义在区间上的函数的极值和最值．ba,)(xf如何求在内的最大值与最小值呢？)(xfba,函数的最值xX2oaX3bx1y观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象，你能找出函数y=f（x）在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？2020年4月22日11时30分6一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：(2)将y=f(x)的各极值与端点处函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)二、应用题有四难。今天继续讲应用题，同学们对照一下是第几难？先不严格的定义什么是应用题。就是用数学知识、方法、思想、数学思维方式解决生产、生活问题。所以应用题可以分成两部分：背景知识，数学问题。背景知识分社会背景知识、自然背景知识。应用题第一难：实践操作难，即设计一种测量方法难应用题第二难：难在我们对背景知识知道太少。背景是有关企业、医学、物理、汽车、建筑物、地理、经济等等。我们在做应用题前要先熟悉这些知识。所以这里有个高原现象，就是熟悉背景知识，我们不熟悉。应用题第三难:就是把现实生活生产问题抽象为数学模型，能够提炼出数学模型，这种抽象、提炼能力我们不会。应用题第四难：难在我们对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式不熟练。有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式是我们解答出应用题的基础知识。所以这里有个高原现象我们迈不上去，就是对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式的熟练，但我们不熟练。即抽象出的数学问题难。应用题这几年高考大题没有，从2009年开始这年是一道填空题，2010年也是填空题，到2012年一直没有大题。以前有大题，属于中档题偏上一点点，不是压轴题。不是应用题不重要，应用题可以让我们知道学了数学有什么用，可以培养我们解决实际问题的能力。那为什么这几年淡化应用题？高考试题设计时每一道要对浙江省所有考生都要公平，包括男生与女生，包括农村学生与城市学生。比如如果出一道有关足球的应用题是不行的，因为男生喜欢足球，女生不喜欢，所以对女生不公平。比如出一道有关城市地铁的应用题那对农村学生不公平，在浙江只有杭州有地铁，其他地方包括温州宁波也没有。还有比如出一道有关飞机的应用题那对浙江山区的考生就不公平。正因为如此，所以出应用题是吃力不讨好的事情，所以这几年就淡化掉了。此题对农村的无钱无势无权的学生不公平，在一些地区家里办厂的就占便宜，这更加加剧了不公平，因为社会要提倡对弱势群体要关怀和照顾。一个政府、官员和国民对待弱势群体的态度行为决定文明的标杆。一个国家文明程度的高低,取决于他们对待弱势者的态度。第一小题对文科生不公平，因为生物没考，第二小题对理科生不公平，因为地理没考，如果高考有应用题就会文理分开。此题对农村的无钱无势无权的学生不公平，在一些地区家里办厂的就占便宜，这更加加剧了不公平，因为社会要提倡对弱势群体要关怀和照顾。一个政府、官员和国民对待弱势群体的态度行为决定文明的标杆。一个国家文明程度的高低,取决于他们对待弱势者的态度。应用基本不等式求最值的条件：a与b为正实数若等号成立，a与b必须能够相等一正二定三相等积定和最小和定积最大强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“＝”应用基本不等式求最值的条件：a与b为正实数若等号成立，a与b必须能够相等一正二定三相等积定和最小和定积最大强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“＝”2()sin,((0,))sinfxxxx求的最值。巩固练习01xxxx1.，当取什么值，的值最小？最小值是多少?xx1x0x引申：若x0呢？呢？xx1图像怎样？图像怎样？图像怎样？xxyxxyxxy121xx2呢？(2)已知与2的大小关系,并说明理由.abbaab寻找,0(3)已知能得到什么结论?请说明理由.abbaab,0以前知识复习完毕。1、如果函数是一元二次函数求极大值、极小值、最大值、最小值还是采用老办法好,老题还是老办法好。如果次数是三次求函数的极大值、极小值、最大值、最小值用新办法即导数且要充分利用序轴标根法，尽量数形结合，新题新办法即导数法。根求不出来就不要求。用字母表示。2、如果函数是，一、图像与对勾函数联系，利用图像求极值、最值。二利用基本不等式求极值、最值。三、与函数的图像的区别。同学们我以a、b是具体数字来讲解。四、用导数求也要结合图像。总结与本节课有关的知识。