排列组合问题--快速秒杀

排列组合问题诚仕教育王保国排列组合问题是让众多考生倍感棘手的难点题型，同时又是几乎每次都考的重点题型。考生备考的时候，大家需要熟悉排列组合的相关概念、相关公式，熟练掌握常考题型及其解题思路。Ⅰ.基本概念（一）排列与组合排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。记作。组合：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。记作。由此可见，排列与组合都是从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，它们的区别在于：排列与顺序有关，组合与顺序无关。（二）加法原理与乘法原理加法原理：做一件事，完成它可以有m类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第m类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同方法。乘法原理：做一件事，完成它需要分成m个步骤，做第一步时有种不同的方法，做第二步时有种不同的方法，……，做第m步时有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。由此可见，在排列组合中，最终进行加总时，需遵循：分类用加法，分步用乘法。Ⅱ.相关公式（1）排列计算公式：（2）组合计算公式：（3）逆向计算公式：正面的情况数＝总情况数－反面的情况数mnAmnC1n2nmn12mNnnn1n2nmn12mNnnn!121!mnnAnnnnmm11!!!121mnmnnnnnmnCCnmmmmⅢ.常考题型排列组合问题常考题型有分类加法型、分步乘法型、捆绑插空型、分配插板型、重复剔除型、几何计数型和概率计算型七类。（一）分类加法型根据条件分类，先计算出每一类的情况数，再根据加法原理加总。【例1】（四川2010年下）有三个居委会的居民共订600份《华西都市报》，每个居委会至少订199份，最多订201份，则不同的订报方式有多少种？（）A.3B.5C.6D.7【解析】每个居委会至少订199份，最多订201份，可以分为两类情形：（1）每个居委会都订200份，有1种订法；（2）三个居委会分别订199，200，201份，有种订法。依据加法原理，分类用加法，一共有1＋6＝7种订报方式。所以答案选择D选项。【例2】（四川2014年上）数字3、5至少都出现一次的三位数有多少个？（）A.48B.52C.54D.60【解析】数字3、5至少都出现一次的三位数可以分为：（1）3、5都只出现一次，又可以细分为：①第三个数字为0：由于百位不能为0，所以有个三位数。②第三个数字不为0：先确定第三个数字，再将其与3、5排成三位数即可，共有个三位数。因此，第一类情况，3、5都只出现一次的三位数有4＋42＝46个。（2）3只出现一次，5出现两次，先确定哪个数位是3，然后剩下两个数位是5即可，共有个三位数。（也可列举：355，535，553）（2）5只出现一次，3出现两次，先确定哪个数位是5，然后剩下两个数位是3即可，共有个三位数。（也可列举：533，353，335）依据加法原理，分类用加法，一共有46＋3＋3＝52个三位数。所以答案选择B选项。【注意】分类计算的排列组合题中，每大类下面可能会出现继续分类或者分步。即加法原理的每类中，可能还需要用到加法原理或者乘法原理。（二）分步乘法型根据条件分步，先计算出每一步的情况数，再根据乘法原理加总。336A221433742A133C133C【例3】（四川2014年上）某宾馆有6个空房间，3间在一楼，3间在二楼。现有4名客人要入住，每人都住单间，都优先选择一楼房间。问宾馆共有多少种安排？（）A.24B.36C.48D.72【解析】整个过程可以分两步：第一步，安排一楼房间，从4人中选3人住一楼，共有种安排；第二步，安排二楼房间，让剩下的1人住进二楼3个房间中的一个，共种。依据乘法原理，分步用乘法，一共有24×3＝72种安排。所以答案选择D选项。【例4】（国家2014年）一次会议某单位邀请了10名专家，该单位预定了10个房间，其中一层5间、二层5间。已知邀请专家中4人要求住二层，3人要求住一层，其余3人住任一层均可，那么要满足他们的住房要求且每人1间，有多少种不同的安排方案？（）A.75B.450C.7200D.43200【解析】整个过程可以分三步：第一步，安排要求住二层的四位专家，从5间房中选4间，有种安排；第二步，安排要求住一层的三位专家，从5间房中选3间，有种安排；第三步，安排剩余的三个专家，住剩下的3个房间，有种安排。分步用乘法，共有120×60×6＝43200种安排。所以答案选择D选项。（三）捆绑插空型题目要求部分元素必须相邻，那么先将相邻元素先排好，再将其视为一个整体和其他元素排列，这是捆绑；题目要求部分元素不能相邻，那么先将其他元素排好，再将不能相邻的元素插入其空隙中，这是插空。【例5】（河北招警2010年）从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排，含有qu（其中qu相连且顺序不变）的不同排列有多少种？（）A.120B.480C.720D.840【解析】先从剩下的6个字母选出3个，有种情况；又要求qu相连且顺序不变，于是qu两个字母只有1种排列，再将qu当作一个整体与另外3个字母排列，有种排列，一共有20×1×24＝480种排列。所以答案选择C选项。3443224A133A45120A3560A336A3620C4424A【注意】相邻问题用捆绑法，先将相邻元素排好，再将其当作一个整体和其他元素排列。【例6】（上海2012年A卷）某市至旱季水源不足，自来水公司计划在下周七天内选择两天停止供水，若要求停水的两天不相连，则自来水公司有几种停水方案？（）。A.21B.19C.15D.6【解析】要求停水的2天不相连，可以看剩余的5天，将停水的2天插入这5天形成的6个空隙中即可，有种方案（时间顺序是固定的，所以这里与顺序无关，用组合计算）。所以答案选择C选项。【注意】不邻问题用插空法，先将其他元素排好，再将不能相邻的元素插入其空隙中。（四）分配插板型相同物品分给n个人，每人至少分1个，可以在这些物品的空隙中插入n－1个隔板，来完成分配，隔板有几种插法，那么就有几种分配方法。【例7】（四川2014年下）将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有几种分配方法？（）A.14B.18C.20D.22【解析】7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，只需在7个桔子形成的6个空隙中插入3个隔板，即可实现分配，故有种分配方法。所以答案选择C选项。【注意】插板法和插空法都要考虑空隙，需注意：插板法不考虑首尾的两个空隙，插空法要考虑首尾的两个空隙。（五）重复剔除型出现重复排列，需要将重复的排列剔除。【例8】（四川2013年下）某篮球队12个人的球衣号码是从4到15的自然数，如从中选出3个人参加三对三篮球比赛。则选出的人中至少有两人的球衣号码是相邻自然数的概率为多少?（）A.B.C.D.【解析】先选出编号相邻的两人有（4、5）、（5、6）、（6、7）、…、（13、14）、（14、15）共11种情况，再选定第三人，还有10种情况。考虑到其中3人都相邻的（4、5、6）；（5、6、7）；（6、7、8）……；（12、13、14）；（13、14、15）10种情况属于重复计算2615C3620C12255112455的（以4、5、6为例，先选4、5，第3人选6，先选5、6，第3人选4这两者就重复了），需要剔除，故选出的人中至少有两人的球衣号码是相邻自然数的情况有11×10－10=100种，故其概率为。所以答案选择C选项。【注意】排列组合中重复计算的需剔除。（六）几何计数型结合几何思维，总结规律或者直接枚举。【例8】（四川2013年下）以一个矩形人意两条边为直径画圆，将该矩形划分成的区域有几种不同的可能性?（）A.1B.2C.3D.4【解析】随着矩形长宽比例不同，两个圆可以把长方形分成3个、4个、5个、7个区域，共4种情况。所以答案选择D选项。（七）概率计算型概率计算是在排列组合基础上引申出来的一种题型，概率可以通过“满足条件的概率＝满足条件的情况数÷总情况数”来计算，概率计算归根结底还是在考排列组合。概率计算同样遵循加法原理和乘法原理：分类用加法，分步用乘法。【例9】（四川2014年下）某办公室5人中有2人精通德语。如从中任意选出3人，其中恰有1人精通德语的概率是多少？（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.75【解析】恰有一人精通德语表示选出的3人有1人精通德语，另外2人不精通德语，有种情况，任意选3人，总情况数有种，故恰有1人精通德语的概率为。所以答案选择B选项。【注意】满足条件的概率＝满足条件的情况数÷总情况数，概率计算归根结底还是排列组合计算。312100511C12236CC3510C60.610【例10】（四川2014年上）速算比赛，小李全对的概率为95%，小杨全对的概率为92%，问这次比赛两人中只有一个人全对的概率为（）。A.0.046B.0.076C.0.122D.0.874【解析】分类计算，两人中只有一人全对的情况分为两类：（1）小李全对小杨没有全对，概率为95%×（1－92%）；（2）小杨全对小李没有全对，概率为92%×（1－95%）。因此，只有一个人全对的概率为95%×（1－92%）＋92%×（1－95%）＝0.122。所以答案选择C选项。【注意】概率计算同样遵循加法原理和乘法原理。分类时，总概率是每类概率的加和；分步时，总概率是每步概率的乘积。【例11】（联考2011年上）小王开车上班需经过4个交通路口，假设经过每个路口遇到红灯的概率分别为0.1、0.2、0.25、0.4，则他上班经过4个路口至少有一处遇到绿灯的概率是()。A.0.899B.0.988C.0.989D.0.998【解析】考虑反面，至少有一处遇到绿灯的反面是全部都遇到红灯，其概率为0.1×0.2×0.25×0.4＝0.002，所以正面至少有一处遇到绿灯的概率是1－0.002＝0.998.所以答案选择D选项。【注意】当正面分类不好分时，可以从反面考虑，正面的概率＝1－反面的概率。排列组合同样可以从反面考虑，正面的情况数＝总情况数－反面的情况数。【例12】（国家2012年）有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是婚礼操办者并不知道他们彼此之间的关系，只是随机安排座位。问5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐的概率是多少？（）A.在1‰到5‰之间B.在5‰到1%之间C.超过1%D.不超过1‰【解析】5对夫妻都恰好相邻，先将每队夫妻排好，有种排法，再将5对夫妻当作5个整体排成一圈，有种排法，所以5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐的情况数为，10个人坐一张圆桌的总情况数为，故所求概率为，介于1‰到5‰之间。所以答案选择A选项。522A44A52424AA99A5242499AAA【注意】n个人的环型排列，相当于n－1个人的线型排列，有种排法。考生备考排列组合，要掌握排列与组合、分类与分步两组概念，重点熟悉常考题型的解题思路，尤其是“分类加法型”、“分步乘法型”和“概率计算型”三种题型。作者简介：王保国，应用数学硕士，主讲数量关系和资料分析科目，诚仕教育创始人。曾担任国内知名机构四川分部数量关系与资料分析科目师资培训师及教研负责人，研发数量关系与资料分析科目高端课程和阶梯式教学模式，编写2015版及2016版《四川省公务员考试行政能力测验》系列教材。长期从事公考培训，对公考有深入透彻的研究，理论功底扎实，教学体系清晰全面，授课内容经过实战的检验，系统全面，注重基础内容讲解的同时，兼顾方法和技巧的运用，并独创数资“猜题”技巧。11nnA